后缀自动机详解

前言

第(3)次尝试学习后缀自动机……下定决心不再背板子

参考资料：

洛谷博客（KesdiaelKen的雷蒻论坛）

2012年noi冬令营clj讲稿

前置知识：Trie树

目录

• 前言
• 简介
• 自动机
• 后缀自动机概念
• 如何构建后缀自动机

简介

后缀自动机，顾名思义是能识别所有后缀的自动机。那么就要从两个方面入手：什么是自动机，以及怎样让自动机识别所有后缀。

其实识别所有后缀用Trie树就可以做到，把所有后缀插到Trie里即可。但是当点数比较多的时候，Trie树(O(n^2))的时间和空间复杂度就吃不消了。于是就需要后缀自动机。

自动机

有限状态自动机能识别字符串。自动机由(5)个部分组成，分别是字符集(Alpha)，状态集合(State)，初始状态(Init)，结束状态集合(End)，和状态转移函数(Trans)。如果一个自动机(A)能识别字符串(S)，那么记(A(S)=1(true))，否则(A(S)=0(false))。

定义(Trans(Rin {Statecup {NULL}},ch/str))为状态(R)后加字符(ch)或字符串(str)所达到的状态。如果不存在则记为(NULL)。

容易发现自动机(A)能识别的串就是所有的(S)使得(Trans(Init,S)in End)。记(Reg(A)={S:Trans(Init,S)in End})。

后缀自动机概念

由上面自动机的概念，我们可以知道，一个(String)的SAM（suffix automaton），(Sin Reg(SAM))当且仅当(S)是(String)的后缀。然而似乎Trie仍然可以满足……我们需要压缩Trie的状态！

下面不妨令(String="aabab")。(n)为(Length(String))。

我们定义(String)的子串(S)出现位置的右端点集合为(EndPos(S))。例如例子中(EndPos("ab")={3,5})。那么，关于(EndPos)我们有如下几个结论：

• 如果两个串的(EndPos)相同，那么其中一个一定是另一个的后缀。
• 对于任意两个串(S_1,S_2)，(Length(S_1)leqslant Length(S_2))，那么(EndPos(S_2)subseteq EndPos(S_1))或(EndPos(S_1)cap EndPos(S_2)=emptyset)。
• 对于所有(EndPos(S))相等的(S)，记这些(S)中长度最大的长度为(MaxLen)，长度最小的为(MinLen)，那么对于(forall i(MinLen leqslant ileqslant MaxLen), exists S'(EndPos(S')=EndPos(S), Length(S')=i))。
• 不同的(EndPos)最多有(O(n))类。

前(3)点还是容易想象的，下面是对于第(4)点的证明：

不难发现(forall S, EndPos(S)subseteq EndPos(""))。对于某个特定的(EndPos)集合(X)，取最长的(S)使得(EndPos(S)=X)。在(X)前面加两个不同的字符(x,y)，那么(EndPos(xS)cap EndPos(yS)=emptyset)。而实际上还有

[left|igcup_{xin Alpha}EndPos(xS)=EndPos(S) ight| ]

所以我们可以将这看成一个划分，划分关系构成一棵树，叫做Parent树。其中，一个节点的父亲的(MaxLen)是这个节点的(MinLen-1)。这棵树最多有(2n-1)个节点，即不同的(EndPos)的个数是(O(n))的。

可以看图理解一下（图中黑色部分，黄色为满足某个特定的(EndPos)的最长(S)）：

如果将这个数构建成一个完整的自动机，我们还需要定义：

• (Init)：根节点；
• (End)：图中带橙色叉的节点；
• (Trans)：图中红色的边；

同时我们还可以说SAM的边数是(O(n))的。坑，待填

如何构建后缀自动机

先放两张图：

如果我们已经构建好了("aaba")的SAM：

我们要构建("aabab")的SAM:

上面这张图有点错误，从({2})指向({3,5})的边应该指向({3})，从({3})应该有指向({4})的值为(a)的边。这点会在下面的构造过程中讲到。

我们发现，只需要更改(EndPos)中包含最后一个位置的点就可以了。如果我们记录了(Last)，那需要处理的节点就是(Last)的祖先。不妨从叶子向根记做(v_1,v_2,dots)。由于从叶子向根，(|EndPos|)是不断增大的。所以我们可以找到第一个(Trans(v_i,x))不为空的点。将(Trans(v_t,x))为空的指向新点(newPoint)即可，而对于另一些我们需要分类讨论。不妨记(q=Trans(v_t,x))。如果强行加入(x)，那么会使(q)的(MaxLen)变小（当然，如果不会，那么构造就结束了）。加入(x)后，实际上(q)被分为了两个部分：

所以建一个新的点(newq)解决这个问题。(newq)继承了(q)除了(MaxLen)之外的所有信息。

同时，我们还要将原图中原来指向(q)的点指向(nq)。这样就结束了！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Maxn = 1000010;
struct suffixAutomaton {
    int Link[ Maxn << 1 ], Len[ Maxn << 1 ], Child[ Maxn << 1 ][ 26 ];
	int Last, Used;
	inline void Init() {
        memset( Link, 0, sizeof( Link ) );
        memset( Len, 0, sizeof( Len ) );
        memset( Child, 0, sizeof( Child ) );
        Last = 1; Used = 1; 
        return; 
    }
    void Build( int Ch ) {
        int Now = ++Used, p;
        Len[ Now ] = Len[ Last ] + 1;
        for( p = Last; p && Child[ p ][ Ch ] == 0; p = Link[ p ] ) Child[ p ][ Ch ] = Now;
        Last = Now;
        if( !p ) { Link[ Now ] = 1; return; }
        int q = Child[ p ][ Ch ];
        if( Len[ p ] + 1 == Len[ q ] ) { Link[ Now ] = q; return; }
        int Clone = ++Used;
        Len[ Clone ] = Len[ p ] + 1; Link[ Clone ] = Link[ q ];
        for( int i = 0; i < 26; ++i ) Child[ Clone ][ i ] = Child[ q ][ i ];
        for( ; p && Child[ p ][ Ch ] == q; p = Link[ p ] ) Child[ p ][ Ch ] = Clone;
        Link[ q ] = Link[ Now ] = Clone;
        return;
    }
};
suffixAutomaton SuffixAutomaton;
char Ch[ Maxn ];
int Len;

int main() {
    scanf( "%s", Ch );
    Len = strlen( Ch );
    SuffixAutomaton.Init();
    for( int i = 0; i < Len; ++i )
        SuffixAutomaton.Build( Ch[ i ] - 'a' );
    return 0;
}

练习题

luogu模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Maxn = 1000010;
int Ref[ Maxn ], Arr[ Maxn << 1 ];
struct suffixAutomaton {
    int Link[ Maxn << 1 ], Len[ Maxn << 1 ], Child[ Maxn << 1 ][ 26 ];
	int Last, Used;
	//extra 
	int Size[ Maxn << 1 ];
	inline void Init() {
        memset( Link, 0, sizeof( Link ) );
        memset( Len, 0, sizeof( Len ) );
        memset( Child, 0, sizeof( Child ) );
        Last = 1; Used = 1; 
        return; 
    }
    void Build( int Ch ) {
        int Now = ++Used, p;
        Len[ Now ] = Len[ Last ] + 1;
		Size[ Now ] = 1;//不是copy的点才能做算大小
        for( p = Last; p && Child[ p ][ Ch ] == 0; p = Link[ p ] ) Child[ p ][ Ch ] = Now;
        Last = Now;
        if( !p ) { Link[ Now ] = 1; return; }
        int q = Child[ p ][ Ch ];
        if( Len[ p ] + 1 == Len[ q ] ) { Link[ Now ] = q; return; }
        int Clone = ++Used;
        Len[ Clone ] = Len[ p ] + 1; Link[ Clone ] = Link[ q ];
        for( int i = 0; i < 26; ++i ) Child[ Clone ][ i ] = Child[ q ][ i ];
        for( ; p && Child[ p ][ Ch ] == q; p = Link[ p ] ) Child[ p ][ Ch ] = Clone;
        Link[ q ] = Link[ Now ] = Clone;
        return;
    }
    inline void CollectSize( int MaxLen ) {//按照DAG的逆序求大小
    	memset( Ref, 0, sizeof( Ref ) );
    	memset( Arr, 0, sizeof( Arr ) );
    	for( int i = 1; i <= Used; ++i ) ++Ref[ Len[ i ] ];
    	for( int i = 1; i <= MaxLen; ++i ) Ref[ i ] += Ref[ i - 1 ];
    	for( int i = 1; i <= Used; ++i ) Arr[ Ref[ Len[ i ] ]-- ] = i;
    	for( int i = Used; i >= 1; --i ) Size[ Link[ Arr[ i ] ] ] += Size[ Arr[ i ] ];
    	return;
    }
};
suffixAutomaton SuffixAutomaton;
char Ch[ Maxn ];
int Len;

int main() {
    scanf( "%s", Ch );
    Len = strlen( Ch );
    SuffixAutomaton.Init();
    for( int i = 0; i < Len; ++i ) SuffixAutomaton.Build( Ch[ i ] - 'a' );
    SuffixAutomaton.CollectSize( Len );
    int Ans = 0;
    for( int i = 1; i <= SuffixAutomaton.Used; ++i )
    	if( SuffixAutomaton.Size[ i ] > 1 )
    		Ans = max( Ans, SuffixAutomaton.Len[ i ] * SuffixAutomaton.Size[ i ] );
    printf( "%d
", Ans );
    return 0;
}

「TJOI2019」甲苯先生和大中锋的字符串

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Maxn = 100010;
int Ref[ Maxn ], Arr[ Maxn << 1 ];
struct suffixAutomaton {
    int Link[ Maxn << 1 ], Len[ Maxn << 1 ], Child[ Maxn << 1 ][ 26 ];
	int Last, Used;
	//extra 
	int Size[ Maxn << 1 ];
	inline void Init() {
        memset( Link, 0, sizeof( Link ) );
        memset( Len, 0, sizeof( Len ) );
        memset( Child, 0, sizeof( Child ) );
        memset( Size, 0, sizeof( Size ) );
        Last = 1; Used = 1; 
        return; 
    }
    void Build( int Ch ) {
        int Now = ++Used, p;
        Len[ Now ] = Len[ Last ] + 1;
		Size[ Now ] = 1;//不是copy的点才能做算大小
        for( p = Last; p && Child[ p ][ Ch ] == 0; p = Link[ p ] ) Child[ p ][ Ch ] = Now;
        Last = Now;
        if( !p ) { Link[ Now ] = 1; return; }
        int q = Child[ p ][ Ch ];
        if( Len[ p ] + 1 == Len[ q ] ) { Link[ Now ] = q; return; }
        int Clone = ++Used;
        Len[ Clone ] = Len[ p ] + 1; Link[ Clone ] = Link[ q ];
        for( int i = 0; i < 26; ++i ) Child[ Clone ][ i ] = Child[ q ][ i ];
        for( ; p && Child[ p ][ Ch ] == q; p = Link[ p ] ) Child[ p ][ Ch ] = Clone;
        Link[ q ] = Link[ Now ] = Clone;
        return;
    }
    inline void CollectSize( int MaxLen ) {//按照DAG的逆序求大小
    	memset( Ref, 0, sizeof( Ref ) );
    	memset( Arr, 0, sizeof( Arr ) );
    	for( int i = 1; i <= Used; ++i ) ++Ref[ Len[ i ] ];
    	for( int i = 1; i <= MaxLen; ++i ) Ref[ i ] += Ref[ i - 1 ];
    	for( int i = 1; i <= Used; ++i ) Arr[ Ref[ Len[ i ] ]-- ] = i;
    	for( int i = Used; i >= 1; --i ) Size[ Link[ Arr[ i ] ] ] += Size[ Arr[ i ] ];
    	return;
    }
};
suffixAutomaton SuffixAutomaton;
char Ch[ Maxn ];
int Len;
int Count[ Maxn ];

void Work() {
    scanf( "%s", Ch );
    Len = strlen( Ch );
    SuffixAutomaton.Init();
    for( int i = 0; i < Len; ++i ) SuffixAutomaton.Build( Ch[ i ] - 'a' );
    SuffixAutomaton.CollectSize( Len );
    int k; scanf( "%d", &k );
    int Max = 1, Ans = -1;
    memset( Count, 0, sizeof( Count ) );
    for( int i = 1; i <= SuffixAutomaton.Used; ++i )
    	if( SuffixAutomaton.Size[ i ] == k ) {
    		--Count[ SuffixAutomaton.Len[ i ] + 1 ];
    		++Count[ SuffixAutomaton.Len[ SuffixAutomaton.Link[ i ] ] + 1 ];
    	}
    for( int i = 1; i <= Len; ++i ) Count[ i ] += Count[ i - 1 ];
    for( int i = 0; i <= Len; ++i )
    	if( Count[ i ] >= Max ) {
    		Max = Count[ i ];
    		Ans = i;
    	}
    printf( "%d
", Ans );
    return;
}

int main() {
	int TestCases; scanf( "%d", &TestCases );
	for( ; TestCases--; ) Work();
	return 0;
}