概率论(离散型)极简入门

目录

• 古典概型
• 条件概率
• 全概率公式
  • 完备事件组
  • 全概率公式
  • 逆概率公式
• 伯努利概型
• 随机变量
  • 一些离散变量的分布
• 随机变量的数字特征
  • 数学期望
  • 方差

古典概型

定义

[P(A)=frac{m}{n} ]

m：A包含的基本事件数。

n：总基本事件数

基本事件：样本空间中不可再分的最小事件。

符号

(Omega) 表示样本空间。(Phi) 表示不可能事件。(overline {A}) 表示 (A) 事件的对立面， (AB) 表示事件 (A) 和 (B) 同时发生。

几个公式

[P(A)=1-P(overline A) ]

说明：事件(A)发生的概率就是(1-)事件(A)的对立事件发生的概率。

[P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ]

说明：事件(A)或(B)发生的概率是事件(A)发生的概率加上事件(B)发生的概率减去事件(A)和(B)同时发生的概率。（容斥原理）

[P(A_1+A_2+...+A_n)=sum_{i=1}^nP(A_i)-sum_{1leqslant i < j leqslant n} P(A_iA_j)+sum_{1leqslant i<j<kleqslant n} P(A_iA_jA_k)...+(-1)^{n-1}P(Pi_{i=1}^nA_i) ]

说明：为上一条的推广，同样是容斥原理。

如果(A)与(B)互不相容（(AB=Phi)），那么(P(A+B)=P(A)+P(B))

说明：为第一条的特殊情况。因为(A)与(B)互不相容，所以(P(AB))为(0)。

如果(A)与(B)相互独立，那么(P(AB)=P(A) imes P(B))

条件概率

(P(B|A))表示(A)发生的情况下，(B)发生的概率。

显然，我们有：

[egin{aligned} P(AB) &= P(A)P(B|A)\ &=P(B)P(A|B) end{aligned} ]

等价于

[P(B|A)=frac{P(AB)}{P(A)} ]

如果(A)与(B)相互独立，那么

[egin{aligned} & P(AB)=P(A)P(B) \ Leftrightarrow & P(A|B)=P(A) \ Leftrightarrow & P(B|A)=P(B) end{aligned} ]

全概率公式

完备事件组

完备事件组是这样一组事件(A_i(i=1...n))：

[igcup_{i=1}^nA_i=Omega,forall i eq j, A_iA_j=Phi ]

简而言之，完备事件组就是对样本空间的一个划分。

全概率公式

在完备事件组(A_i)下，有全概率公式：

[P(B)=sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) ]

感性理解即可。

逆概率公式

[P(A_i|B)=frac{P(A_iB)}{P(B)}=frac{P(A_i)P(B|A_i)}{sum P(A_i)P(B|A_i)} ]

这个感觉不好理解，但是挺有用的。

伯努利概型

(n)次独立重复实验，如果事件(A)发生的概率为(p)，那么事件(A)恰好发生(k)次的概率是

[P_n(k)={n choose k}p^k(1-p)^k \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k=0,1,...,n) ]

随机变量

我们给一个事件(omega in Omega)赋值为(X(omega))（简写为(X)），那么(X)就是随机变量。

分布列

(X)	(x_1)	(x_2)	(cdots)	(x_n)
(P)	(p_1)	(p_2)	(cdots)	(p_n)

分布律

(P(X=x_i)=p_i)

显然，有(p_igeqslant 0, sum p_i=1)。

分布函数

[F(X)=P(x leqslant X) ]

一些离散变量的分布

二项分布(Xsim B(n,p))

[P(x=k)={n choose k}p^k(1-p)^{n-k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k=0,1,...,n)$ ]

两点分布:两点分布是二项分布(n =1)的情况。

泊松分布(Xsim Pi(lambda))

[P(x=k)=frac{lambda^k}{k!}e^{-lambda} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k=0,1,2,...) ]

泊松分布适用于稀疏概率事件。

几何分布(Xsim G(p))

实验恰好在第(k)次第一次成功的概率（前(k-1)次失败）。

[P(x=k)=(1-p)^{k-1}p ]

超几何分布(Xsim H(n, N_1, N))

[P(x=k)=frac{{N_1 choose k}{N-N_1 choose n - k}}{N choose n} \,\,\,\,\,\,\,\,\, k=0,1,...,min(n,N1) ]

超几何分布可以这样理解：从(N)个黑色（(N_1)个）或白色的球中随机抽取(n)个球恰有(k)个为黑的概率。当(Ngg n)时，近似于二项分布。

随机变量的数字特征

数学期望

由于数学期望涉及级数的问题，这里不过多解释。

二项分布(E(x)=np)

两点分布(E(x)=p)

泊松分布(E(x)=lambda)

几何分布(E(x)=frac{1}{p})

期望的一些公式：

[E(x)=sum x_ip_i\ E(c)=c\ E(kx+b)=kE(x)+b\ E(xpm y)=E(x)pm E(y) \ E[f(x)]=sum f(x_i)p_i ]

如果(x),(y)独立，还有(E(xy)=E(x)E(y))

方差

方差(D(x)=E[(x-E(x))^2]=E(x^2)-(E(x))^2=sum x_i^2p_i - (sum x_i p_i) ^2)

二项分布(D_x=np(1-p))

泊松分布(D_x=lambda)

几何分布(D_x=frac{1-p}{p^2})

方差性质：(D(c)=0)，(D(x+c)=D(x))，(D(cx)=c^2D(x))，(D(xpm y)=D(x)+D(y))，(D(x)=0Leftrightarrow P(x=c)=1)