【数论】高斯消元

高斯消元

给出 (n) 组方程，每组方程形如 (sumlimits_{i=1}^n a_ix_i = b_i)，要求求出 (x_1, x_2 cdots x_n) 或告知无解。

我们把这些方程转化为矩阵 (egin{vmatrix} & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & cdots & a_{1, n} & b_1 \ & a_{2,1} & a_{1,2} & a_{1,3}& cdots & a_{2, n} & b_2 \ & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & \ & a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & cdots & a_{n, n} & b_n \ end{vmatrix})

我们希望最后的矩阵形如 (egin{vmatrix} & 1 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & c_1 \ & 0 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & c_2 \ & 0 & 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & c_3 \ & vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots & vdots & \ & 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 0 & c_{n-1} \ & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 & c_n \ end{vmatrix})

对于第 (i) 行就能求出 (x_i = c_i)，即可求出解。

1. 我们从上往下做，先将当前系数绝对值最大的移到当前这一行，减小误差。
2. 让当前系数化为 (1)，即让当前行的每一个数都除以当前系数。
3. 再用当前第 (i) 行的第 (i) 个系数（即为 (1)）消去 $j (j ot= i) $ 的第 (i) 个系数，把它消为 (0)。

重复做以上的操作，直到做到第 (n) 行，此时最后的矩阵形如上述。

最后说一下如何判无解和无限解：

1. 无解：当前行系数全为 (0)，但值不为 (0)。

2. 无限解：当前行系数全为 (0)，且值为 (0)。