跟我一起学算法——二项堆

目录

• 1.二叉堆(Binary Heap)、二项堆、斐波那契堆(简称Fib堆)的比较：
• 2. 二项树
  • 2.1 定义
  • 2.2 二项树B_k的性质
• 3. 二项堆
  • 3.1 定义
  • 3.2 数据结构
  • 3.3 操作
  • 3.3.1 五个基本操作
  • 3.3.2 两个扩展操作
• 参考

1.二叉堆(Binary Heap)、二项堆、斐波那契堆(简称Fib堆)的比较：

相同：

1. 都是可归并堆（Mergeable Heap）；
2. 它们都支持5个基本操作（创建、插入、查找最小值、抽取最小值、合并堆）和2个扩展操作
   （结点减值、结点删除）。

不同：

1. 二叉堆是一种结点有序的完全二叉树，可采用数组结构存储，通过数组下标索引结点，分最大
   堆和最小堆。 二项堆和Fib堆都是最小堆。
2. 二项堆由二项树组成，结构比二叉堆复杂，但其堆合并操作的时间复杂度较好。当堆合并操作
   较多时，可使用二项堆。反之，使用二叉堆即可。
   

2. 二项树

2.1 定义

仅包含一个结点的有序树是一棵二项树(B_0树)。二项树B_k由两棵B_{k-1}树组成，其中一
棵B_{k-1}树的根作为另一棵B_{k-1}树根的最左孩子(k≥0)。

2.2 二项树B_k的性质

1. 结点数 n = 2{^k}
2. 树高为 k = lgn
3. 深度为i处有k!/(i!(k-i)!）个结点（k>=i>=0）。
4. 根的度最大为k，若根的孩子从左到右编号为k-1,k-2,…,1,0，则孩子i恰好是子树B_i的根。

proof：主要依靠B_k与B_{k-1}间的关系

1. 2^{k-1} + 2^{k-1} = 2^{k}
2. k-1+1 = k
3. 即证D(k,i) = D(k-1,i-1) + D(k-1,i)
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3. 二项堆

3.1 定义

它是由一系列二项树组成的集合，满足以下性质：
堆中每一颗二项树都满足最小堆性质。堆中度为k的树是唯一的 => n个结点的二项堆中最多有
lgn上界 + 1课二项树

3.2 数据结构

• 根表 root list
  head[H]->B_0->B_2->B_3
  根表是单链表，它链接所有二项树的根结点，且按度的递增顺序链接。

• 结点 node
  每个结点包含5个域：
  key：数据
  指针p：指向父结点
  degree（度）：孩子个数
  child：指向最左孩子
  sibling：指向右兄弟

class Node():
  """
  class of the node in the heap
  provide functions to the binomial tree
  """
  def __init__(self, key = None):
      self.p = None # point to parent
      self.key = key # value
      self.degree = 0 # count of the children
      self.child = None # point to child of the left
      self.sibling = None # point to the right brother

  def link_tree(self, other):
      """
      other -> subtree of self.
      """
      other.parent = self
      other.sibling = self.child
      self.child = other
      self.degree += 1

3.3 操作

3.3.1 五个基本操作

1. 创建空堆

2. 取最小值：由于二项树满足最小堆性质，所以遍历根表即可。

3. 合并两个二项堆
   step1：按照二项树的度递增的顺序合并两个根表。
   step2：根表调整，以满足度的唯一性。用三个辅助指针（per、p、after）将度重复的树合并。
   由于step1合并后的根表中，度相同的树最多有两颗，所以会出现以下几种情况：
   case1：三个指针所指二项树根都存在，且度不同 => 指针后滑，进入case3或结束。
   case2：per为空，p.degree = after.degree，且after.sibling存在 =>指针后滑，进入case4。
   case3：case1或case2不成立，若pre为空，则一定有p.degree = after.degree => 根据degree
   合并p和after所指二项树，after后滑，进入case2 或 case1
   case4：三个指针所指二项树根都存在，且度相同 =>根据degree合并p和after所指二项树，after
   后滑，进入case3。

   时间复杂度分析：

   • 合并根表 O(lgn)
   • 根表调整，遍历新根表O(lgn)
   • 合并操作的时间复杂度为O(lgn)，优于二叉堆的O(n)

   

def _merge_rootlist(self, heap2):
        """
            merge  two root list and keep increasing order in degree.
        """
        p1 = self.head
        p2 = heap2.head
        if not p1: # p1 = None
            return heap2.head
        if not p2: # p2 = None
            return self.head
        if p1.degree <= p2.degree:
            p = p1
            p1 = p1.sibling
        else:
            p = p2
            p2 = p2.sibling
        head = p
        while p1 and p2:
            if p1.degree <= p2.degree:
                p.sibling = p1
                p1 = p1.sibling
            else:
                p.sibling = p2
                p2 = p2.sibling
            p = p.sibling
        if p2:
            p.sibling = p2
        else:
            p.sibling = p1
        return head

  def _union(self, heap2):
      """
          step1: merge  two root list and keep increasing order in degree.
          step2: adjust root(merge) to keep the unique of the degree in all   
          binomial trees.
          use three point to adjust the heap: pre , p , after
      """
      if heap2 is None:
          return
      if self.head is None:
          self.head = heap2.head
          self.size = heap2.size
          return
      # step1
      head = self._merge_rootlist(heap2)
      print("merge root list")
      self.print_rootlist()
      # step2 use three point to adjust the heap
      if not head:
          print("merge rootlist error")
          return
      pre = None
      p = head
      after = head.sibling
      while after:
          # case 1 / case 2 , point + 1
          if p.degree != after.degree or (after.sibling is not None and
          after.sibling.degree == p.degree ):
              pre = p
              p = after
          # case 3,  merge p and after into p
          elif p.key <= after.key:
              # update point
              p.sibling = after.sibling
              # merge two tree, p.child = after
              p.link_tree(after)
          else:
              # after.degree == p.degree, after.sibling = None, p.key>after.key
              # => update head ,link(after,p),over!
              if pre == None:
                  head = after
              # upfate pre.sibling = after, link(after,p)
              else:
                  pre.sibling = after
              after.link_tree(p)
              p = after
          after = p.sibling
      self.head = head
      self.size += heap2.size
      return

4. 插入结点x
   将x放入一个空堆H2中，将H和H2合并。
   时间复杂度为O(lgn)

def insert(self, node):
    """
    insert a node into a null heap.
    1. node->new heap (heap2)
    2. union(self, heap2)
    """
    h = BinomialHeap()
    h.head = node
    self.union(h)
    self.size += 1

5. 抽取最小值结点
   step1：遍历根表查最小值结点z。
   step2：在根表中删除结点z，并把z的孩子"逆放"到一个空堆H2中。所谓逆放，即使H2满足二项堆根
   表中树根的度递增的顺序。
   step3：将H和H2合并。
   时间复杂度O(lgn)

def extract_min_node(self):
        self._extract_min_node()
        return

def _extract_min_node(self):
    size = self.size
    min_node, pre_min = self.min()
    self.extract(min_node, pre_min)
    self.size = size - 1
    return

def extract(self, node, pre_node):
    if node == None:
        return
    # del min node in the root list
    if pre_node==None:
        self.head = min_node.sibling
    else:
        pre_node.sibling = node.sibling
    # if the minimum node has no child
    if(node.child == None):
        return
    # if the node has subtrees, then inesrt them into a new heap, and union this new heap with old heap.
    new_heap = BinomialHeap()
    # insert the subtrees in reverse order
    p = node.child
    list_root = []
    while p.sibling != None:
        p.parent = None
        list_root.append(p)
        p = p.sibling
    list_root.append(p)
    while list_root != []:
        p = list_root.pop(-1)
        new_heap.insert(p)
    # union
    self.union(new_heap)
    return

3.3.2 两个扩展操作

1. 减值(减少结点z的key)
   z减值后自底向上迭代比较，直到孩子结点的值大于父结点。类似冒泡。
   时间复杂度；O(lgn)

def _decrease_key(self,node,key):
        if node == None or node.key <= key:
            print("node or key err")
            return
        node.key = key
        x = node
        p = node.p
        # bubble
        while p is not None and p.key > x.key:
            t = p.key
            p.key = x.key
            x.key = t
            x = p
            p = p.p
        return

2. 删除结点z
   step1:对z进行减值操作，将z的值减为最小值。
   step2:对z所在二项树的树根执行抽取操作。
   时间复杂度：O(lgn)

参考

《算法导论》