[ZPG TEST 111] 奶牛的新家【DP】

3.奶牛的新家

【问题描述】

    由于奶牛们纷纷表示破旧的房子实在是太丑陋了，DD决定给他们建造新家。现在有许多奶牛决定将家建造在n*m的城市中。然而奶牛们分成了k帮派，不同帮派的奶牛不能住在同列或同行上。现在DD想知道一共有多少建造方案。

【输入】

    第一行三个整数n,m,k

    接下来一行k个整数，分别表示每个帮派有多少只牛

【输出】

    一行一个整数，建造方案数mod 100000007

【样例输入】

2 3 2

1 1

【样例输出】

12

【输入输出样例说明】

两头不同帮派的牛放在2*3的图中的方案数为12

【数据范围】

对于30%的数据，n,m≤4

对于80%的数据，n,m≤20

对于100%的数据,n,m≤30;k≤10

这是我们第二次六校联测（标题是“多校联测3”），又挂了，唉，又是死在了dp上了，烦透了。

先观察这一题，一种颜色一定是占据了若干行和若干列的，在这些行与列上是不能放别的颜色的。令g(i, j, k)表示第k种颜色恰好占据了i行j列的方案数，这里“恰好”是指这i行j列中没有哪一行或者哪一列是空的。那么有：

g(i, j, k) = C(i * j, a[k]) - sigma (   g(i', j', k) * C(i, i') * C(j, j')   )，其中要满足i' < i或 j' < j，i * j要 >= a[k]（a[k]表示第k种颜色的个数），C表示的是组合。

上面那条方程的意思就是，首先要加上C(i * j, a[k])表示在这i * j个格子里放a[k]个，那么有C(i * j, a[k])种方案。减掉的那一部分的意义是：某些方案并不满足这种状态（注意状态表示的是“恰好占据”），所以需要减掉这些状态。

然后f(i, j, k)表示前k种颜色，恰好占据了i行j列的方案数，那么有：

f(i, j, k) = sigma(   f(i - i', j - j', k - 1) * g(i', j') * C(i, i') * C(j, j')   )

#include <cstdio>

const long long mod = 100000007;

int n, m, K, a[15];
long long c[1005][1005], f[35][35][15], g[35][35][15], ans;

int main(void) {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
	for (int i = 1; i <= K; ++i) {
		scanf("%d", a + i);
	}
	c[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i < 1001; ++i) {
		c[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= i; ++j) {
			c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
		}
	}
	
	for (int k = 1; k <= K; ++k) {
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			for (int j = 1; j <= m; ++j) {
				if (i * j < a[k]) {
					continue;
				}
				g[i][j][k] = c[i * j][a[k]];
				for (int i_ = 1; i_ <= i; ++i_) {
					for (int j_ = 1; j_ <= j; ++j_) {
						if (i_ < i || j_ < j) {
							g[i][j][k] = (g[i][j][k] - (g[i_][j_][k] * c[i][i_] % mod * c[j][j_] % mod) + mod) % mod;
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	
	f[0][0][0] = 1;
	for (int k = 1; k <= K; ++k) {
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			for (int j = 1; j <= m; ++j) {
				if (i * j < a[k]) {
					continue;
				}
				for (int i_ = 1; i_ <= i; ++i_) {
					for (int j_ = 1; j_ <= j; ++j_) {
						f[i][j][k] = (f[i][j][k] + f[i - i_][j - j_][k - 1] * g[i_][j_][k] % mod * c[i][i_] % mod * c[j][j_]) % mod;
					}
				}
			}
		}
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			ans = (ans + f[i][j][K] * c[n][i] % mod * c[m][j] % mod) % mod;
		}
	}
	printf("%d
", (int)ans);
	return 0;
}