[ZPG TEST 118] 最大值【dp+离线】

题4  最大值(findmax)

【题目描述】

    找到一个数组的最大值的一种方法是从数组开头从前到后对数组进行扫描，令max=a[0](数组下表从0..N-1)，如果a[i]>max，就更新max，这样就可以在O(N)的时间里找到一个数组的最大值。

    这个问题是相当简单的，但是想到了另一个问题，如果一个包含N个元素的数组a里面的元素的值是在1...K之间的整数，存在多少个不同的数组a，进行了如上扫描之后，max恰好进行了P次更新?

    下面是N = 4，K = 3，P = 2时所有情况

     1) {1,1,2,3}

     2) {1,2,1,3}

     3) {1,2,2,3}

     4) {1,2,3,1}

     5) {1,2,3,2}

     6) {1,2,3,3}

    共有6种情况

    由于答案可能很大，所以你仅仅需要把答案mod (10^9+7)输出。

【输入格式】

    输入文件findmax.in的第一行T，本题有T组数据。

    接下来T行，每行三个整数N,K,P

【输出格式】

    输出文件findmax.out包括T行，每行一个答案。

【样例输入】

    3

    4 3 2

    2 3 1

    3 4 1

【样例输出】

    6

    3

    30

【数据规模】

    30%数据

      T=1

      1 <= n <= 10

      1 <= K <= 2

      0 <= P < n

    60%数据

      T=1

      1 <= n <= 50

      1 <= K <= 10

      0 <= P < n

    100%数据

      1 <= T <= 100

      1 <= n <= 100

      1 <= K <= 300

      0 <= P < n

我说什么鬼，100 * 100 * 300 * 100还能不炸？原来离线了。。。

令f(i, j, k)表示前i个数，最大值为j，更新了k次的方案数，则

f(i, j, k) = f(i - 1, j, k) * j + f(i - 1, 1, k - 1) + f(i - 1, 2, k - 1) + ... + f(i - 1, j - 1, k - 1)

用s(i, j, k)表示f(i, 1, k) + f(i, 2, k) + ... + f(i, j, k)，则

f(i, j, k) = f(i - 1, j, k) * j + s(i - 1, j - 1, k - 1)，

其中f(i - 1, j, k) * j表示最大值不变，则第i位可以是闭区间[1, j]之间的数，s(i - 1, j - 1, k - 1)表示最大值更新为j。

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int maxn = 105, mod = 1000000007;

int T, n, max_k, p;
long long f[maxn][305][maxn], s[maxn][305][maxn];

int main(void) {
	freopen("findmax.in", "r", stdin);
	freopen("findmax.out", "w", stdout);
	scanf("%d", &T);
	for (int j = 1; j < 301; ++j) {
		f[1][j][0] = 1;
		s[1][j][0] = j;
	}
	for (int i = 2; i < 101; ++i) {
		for (int j = 1; j < 301; ++j) {
			f[i][j][0] = (f[i - 1][j][0] * j) % mod;
			s[i][j][0] = (s[i][j - 1][0] + f[i][j][0]) % mod;
			for (int k = 0; k < 101; ++k) {
				f[i][j][k] = (f[i - 1][j][k] * j + s[i - 1][j - 1][k - 1]) % mod;
				s[i][j][k] = (s[i][j - 1][k] + f[i][j][k]) % mod;
			}
		}
	}
	while (T--) {
		scanf("%d%d%d", &n, &max_k, &p);
		printf("%d
", s[n][max_k][p]);
	}
	return 0;
}