一个微分方程的解析解

近日我在给工程硕士讲《高等工程数学》，在讲授微分方程数值解这一节课的时候。
遇到一个一阶非线性微分方程初值问题，如下：

[egin{cases} dfrac{ ext{d}y}{ ext{d}x} = y-dfrac{2x}{y}\ y(0)=1\ end{cases} ]

解析解为 (y = sqrt{1+2x})，学生问怎么求出来的？
现解答如下：
两边同时乘以 (2y)，可得 (2 y'y = 2y^2 -4x), 令 (u=y^2, ext{d}u = 2y'y ext{d}x)，
原方程变为 (u' - 2u = -4x) ,这是一个一阶线性非其次常微分方程，可以用变易系数法求解，
先求解对应的齐次线性微分方程 (u' - 2u =0), 用分离变量法易得

[dfrac{ ext{d}u}{ ext{d}u} = 2 ext{d}x, ]

两边积分得，

[intdfrac{ ext{d}u}{ ext{d}u}=int 2 ext{d}x, ]

即

[ln|u| = 2x+ln|C|, ]

亦即

[u= C ext{e}^{2x}, ]

变易常数 (C) 为 (C(x)), 得到 (u= C(x) ext{e}^{2x},)
求导 (u'= C(x)' ext{e}^{2x}+2C(x)' ext{e}^{2x},)
代入 (u' - 2u = -4x)，得

[C(x)' ext{e}^{2x}+2C(x) ext{e}^{2x} -2\, C(x) ext{e}^{2x} = -4x, ]

整理得 $$C'(x) = -4x ext{e}^{-2x},$$
解得 $$C(x) = 2int x ext{d}( ext{e}^{-2x}) = 2x ext{e}^{-2x}-int ext{e}^{{-2x} ext{d}(2x)=2x ext{e}}{-2x}+ ext{e}^{-2x}+C_1,$$
即$$C(x) = (1+2x) ext{e}^{-2x}+C_1,$$
代入 (u= C(x) ext{e}^{2x})，得到

[u= ((1+2x) ext{e}^{-2x}+C_1) ext{e}^{2x}=1+2x+C_1 ext{e}^{2x}, ]

又因为 (u(0) = y(0)^2=1), 代入上式得 (C_1=0), 故 (u = 1+2x,) 又 (y(0)=1>0), 所以解析解为 (y = sqrt{1+2x}.)

解法二：套公式
原方程乘以 (2y) 得 $ 2yy' = 2y^2-4x$, 令 (u = y^2), 则变为 (dfrac{ ext{d}u}{ ext{d}x} = 2u -4x), 即 (u'-2u = -4x), 由(y'+P(x)y = Q(x)) 的通解公式
(y = ext{e}^{-int P(x) ext{d}x}(int Q(x) ext{e}^{int P(x) ext{d}x} ext{d} x +C)), 得 $$u(x) = ext{e}^{2x}(int (-4x) ext{e}^{-2x} ext{d} x +C ) = ext{e}^{{2x}(2x ext{e}}{-2x}+ ext{e}^{{-2x}+C)=(1+2x)+C ext{e}}{2x}$$, 由于 (u(0)=y^2(0)=1), 故 (C=0) , 于是 (u = 1+2x), 又 (y(0)=1>0), 得 (y=sqrt{1+2x}.)