旅行推销员问题（英语：Travelling salesman problem, TSP）是这样一个问题：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。它是组合优化中的一个NP困难问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要。
分支限界法在上一篇Blog中我有简单说明，并给出了基于分支界限法的Dijkstra ，这篇文章里介绍一下基于分支限界法的TSP算法。
对于TSP，我们需要利用上界和下界来对BFS进行剪枝，通过不断更新上界和下界，尽可能的排除不符合需求的child，以实现剪枝。最终，当上限和下限等同时，我们可以获得最优的BFS解，以解决TSP问题。
在第一篇中，我们用dfs获取上界，用每行矩阵最小值来获取下界。
代码如下，下面代码中，我采用贪心法（使用DFS暴力搜索到一个结果）来获取最初的上界，通过累加每行旅行商矩阵中的最小值来获取一个下界。
//分支限界法 #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<queue> const int INF = 100000; const int MAX_N = 22; using namespace std; //n*n的一个矩阵 int n; int cost[MAX_N][MAX_N];//最少3个点，最多MAX_N个点 struct Node { bool visited[MAX_N];//标记哪些点走了 int s;//第一个点 int s_p;//第一个点的邻接点 int e;//最后一个点 int e_p;//最后一个点的邻接点 int k;//走过的点数 int sumv;//经过路径的距离 int lb;//目标函数的值（目标结果） bool operator <(const Node &p)const { return p.lb < lb;//目标函数值小的先出队列 } }; priority_queue<Node> pq;//创建一个优先队列 int low, up;//下界和上界 bool dfs_visited[MAX_N];//在dfs过程中搜索过 //确定上界,利用dfs（属于贪心算法），贪心法的结果是一个大于实际值的估测结果 int dfs(int u, int k, int l)//当前节点，目标节点，已经消耗的路径 { if (k == n) return l + cost[u][1];//如果已经检查了n个节点，则直接返回路径消耗+第n个节点回归起点的消耗 int minlen = INF, p; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!dfs_visited[i] && minlen > cost[u][i])//取与所有点的连边中最小的边 { minlen = cost[u][i];//找出对于每一个节点，其可达节点中最近的节点 p = i; } } dfs_visited[p] = true;//以p为下一个节点继续搜索 return dfs(p, k + 1, l + minlen); } void get_up() { dfs_visited[1] = true;//以第一个点作为起点 up = dfs(1, 1, 0); } //用这种简单粗暴的方法获取必定小于结果的一个值 void get_low() { //取每行最小值之和作为下界 low = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { //创建一个等同于map的临时数组，可用memcpy int tmpA[MAX_N]; for (int j = 1; j <= n; j++) { tmpA[j] = cost[i][j]; } sort(tmpA + 1, tmpA + 1 + n);//对临时的数组进行排序 low += tmpA[1]; } } int get_lb(Node p) { int ret = p.sumv * 2;//路径上的点的距离的二倍 int min1 = INF, min2 = INF;//起点和终点连出来的边 for (int i = 1; i <= n; i++) { //cout << p.visited[i] << endl; if (!p.visited[i] && min1 > cost[i][p.s]) { min1 = cost[i][p.s]; } //cout << min1 << endl; } ret += min1; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!p.visited[i] && min2 > cost[p.e][i]) { min2 = cost[p.e][i]; } //cout << min2 << endl; } ret += min2; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!p.visited[i]) { min1 = min2 = INF; for (int j = 1; j <= n; j++) { if (min1 > cost[i][j]) min1 = cost[i][j]; } for (int j = 1; j <= n; j++) { if (min2 > cost[j][i]) min2 = cost[j][i]; } ret += min1 + min2; } } return (ret + 1) / 2; } int solve() { //贪心法确定上界 get_up(); //取每行最小的边之和作为下界 //cout << up << endl;//test get_low(); //cout << low << endl;//test //设置初始点,默认从1开始 Node star; star.s = 1;//起点为1 star.e = 1;//终点为1 star.k = 1;//走过了1个点 for (int i = 1; i <= n; i++) { star.visited[i] = false; } star.visited[1] = true; star.sumv = 0;//经过的路径距离初始化 star.lb = low;//让目标值先等于下界 int ret = INF;//ret为问题的解 pq.push(star);//将起点加入队列 while (pq.size()) { Node tmp = pq.top();pq.pop(); if (tmp.k == n - 1)//如果已经走过了n-1个点 { //找最后一个没有走的点 int p; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!tmp.visited[i]) { p = i;//让没有走的那个点为最后点能走的点 break; } } int ans = tmp.sumv + cost[p][tmp.s] + cost[tmp.e][p];//已消耗+回到开始消耗+走到P的消耗 //如果当前的路径和比所有的目标函数值都小则跳出 if (ans <= tmp.lb) { ret = min(ans, ret); break; } //否则继续求其他可能的路径和，并更新上界 else { up = min(up, ans);//上界更新为更接近目标的ans值 ret = min(ret, ans); continue; } } //当前点可以向下扩展的点入优先级队列 Node next; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!tmp.visited[i]) { //cout << "test" << endl; next.s = tmp.s;//沿着tmp走到next，起点不变 next.sumv = tmp.sumv + cost[tmp.e][i];//更新路径和 next.e = i;//更新最后一个点 next.k = tmp.k + 1;//更新走过的顶点数 for (int j = 1; j <= n; j++) next.visited[j] = tmp.visited[j];//tmp经过的点也是next经过的点 next.visited[i] = true;//自然也要更新当前点 //cout << next.visited[i] << endl; next.lb = get_lb(next);//求目标函数 //cout << next.lb << endl; if (next.lb > up) continue;//如果大于上界就不加入队列 pq.push(next);//否则加入队列 //cout << "test" << endl; } } //cout << pq.size() << endl;BUG:测试为0 } return ret; } int main() { cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { cin >> cost[i][j]; if (i == j) { cost[i][j] = INF; } } } cout << solve() << endl; return 0; } /*测试 5 100000 5 61 34 12 57 100000 43 20 7 39 42 100000 8 21 6 50 42 100000 8 41 26 10 35 100000 36 请按任意键继续. . . */