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  • 根号分治

    根号分治

    根号算法——不只是分块。

    有时我们会碰到这样一类问题,长度为(n)的序列,(m)个询问(通常(n)(m)同阶),可能存在两种比较显然的方法,一种是(O(n^2))预处理(O(1))回答,一种是不预处理(O(n))回答(m)个询问,这两种方法都是(O(n^2))的。考虑是否存在一种策略能“平衡”一下预处理和询问的复杂度。

    看一道题:哈希冲突

    这是一道论文题,论文的题目就是开头的那句话。先把我们前面提到的两种显然的方法提一下。

    第一种(n^2)预处理(f[i][j])表示膜(i)意义下第(j)个hash池内的答案,直接暴力计算,每次修改也是(O(n))的,而且空间复杂度(n^2)

    第二种对于每次询问暴力(O(n))求,修改(O(1))

    这两种方法的复杂度都无法承受,考虑优化。我们发现,对于模数小于(sqrt n)的情况,我们按照第一种方法做,预处理(O(nsqrt n)),空间(O(n)),查询(O(1));对于模数大于(sqrt n)的情况,模(p)的结果为(i)的hash池中最多只可能有(frac{n}{sqrt n}=sqrt n)个数对它产生贡献,于是采用第二种方法,每次查询复杂度(O(sqrt n)),再加上单次修改(O(sqrt n))。总的复杂度(O((n+m)sqrt n))

    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    #define R register
    using namespace std;
    const int S=150003,N=403;
    int a[S],f[N][N];
    int main(){
    	R int n,m,p,x,y,i,j,o;
    	R char e[2];
    	scanf("%d%d",&n,&m),p=sqrt(n);
    	for(i=1;i<=n;++i){
    		scanf("%d",&a[i]);
    		for(j=1;j<=p;++j)
    			f[j][i%j]+=a[i];
    	}
    	for(i=1;i<=m;++i){
    		scanf("%s%d%d",e,&x,&y);
    		if(e[0]=='A'){
    			if(x<=p) printf("%d
    ",f[x][y]);
    			else{
    				for(o=0,j=y;j<=n;j+=x)
    					o+=a[j];
    				printf("%d
    ",o);
    			}
    		}
    		else{
    			for(j=1;j<=p;++j)
    				f[j][x%j]+=y-a[x];
    			a[x]=y;
    		}
    	}
    	return 0;
    }
    
    

    上面的题目只是牛刀小试,根号分治的应用还有很多,推荐题目:

    CF1039D You Are Given a Tree 题解
    CF1039E Summer Oenothera Exhibition 题解

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/cj-chd/p/10121939.html
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