对偶问题
[max { c^intercal x mid A x leq b } = min { b^intercal y mid A^intercal y geq c }
]
来道例题：
洛谷P3337 [ZJOI2013]防守战线
列出式子：
[egin{aligned}
& mathrm{minimize} sum_i c_i y_i \
& s.t. forall i in [1, n], sum_{l_i leq j leq r_i} y_j geq d_i \
& forall i in [1, n], y_i geq 0
end{aligned}
]
令 (A^intercal_{i,j} = [j in [l_i, r_i]])，(b = egin{bmatrix} c_1 \ c_2 \ vdots \ c_n end{bmatrix})，(c =egin{bmatrix} d_1 \ d_2 \ vdots \ d_n end{bmatrix})，于是对偶之后为：
[egin{aligned}
& mathrm{maximize} sum_i d_i x_i \
& s.t. forall i in [1, n], sum_{j} A_{i, j} x_j geq c_i \
& forall i in [1, n], x_i geq 0
end{aligned}
]
同时 (A) 的列中有连续的 (1) 出现。
感觉很不错，于是加上松弛变量：
[sum_{j} A_{i,j} x_j + y_i = c_i
]
差分后：
[sum_{l_j = i} x_j - sum_{r_j + 1 = i} x_j + y_i - y_{i - 1} = c_i - c_{i - 1}
]
移项得到：
[sum_{l_j = i} x_j + c_{i - 1} + y_i = sum_{r_j + 1 = i} x_j + c_i + y_{i - 1}
]
将等式看成一个点的流量平衡，于是就有这样的连边方案：
-
点集 (V = {S, T, 1, 2, cdots, n + 1})
-
(forall i in [1, n + 1])，连边 ((S, i, c_{i - 1}, 0))（即从 (S) 到 (i)，流量为 (c_{i - 1})，费用为 (0)）和 ((i, T, c_i, 0))。
-
(forall i in [1, n])，连边 ((i + 1, i, infty, 0)) 表示松弛变量。
-
对任意区间 ([l_i, r_i])，连边 ((r_i + 1, l_i, infty, d_i))。
于是上最大费用最大流即可，具体实现细节可以见代码。
未完待续。。。