题意 : 求 (sum_{i=1}^{n}{sum_{j=1}^{i}{sum_{k=1}^{i}{gcd(i,j,k)}}} space mod space p); 其中(n,p leq 10^9)
下式均在(mod space p)意义下进行。
由(phi*1=id)得到(sum_{i=1}^{n}{sum_{j=1}^{i}{sum_{k=1}^{i}{gcd(i,j,k)}}})
(=sum_{i=1}^{n}{sum_{j=1}^{i}{sum_{k=1}^{i}{sum_{d|gcd(i,j,k)}{phi(d)}}}})
(=sum_{d=1}^{n}{phi(d)sum_{d|i}^{n}{sum_{d|j}^{i}{sum_{d|k}^{i}{1}}}})
(=sum_{d=1}^{n}{phi(d){sum_{i=xd}^n{sum_{j=yd}^i{sum_{k=zd}^i}1}}})
(=sum_{d=1}^{n}{phi(d){sum_{i=1}^{lfloor{n/d} floor} {sum_{j=1}^{i}{sum_{k=1}^{i}}1}}})
设(S(n)=sum_{i=1}^n{i^2}) 且(S(n)=frac{n(n+1)(2n+1)}{6})
那么有 (sum_{d=1}^{n}{phi(d){sum_{i=1}^{lfloor{n/d} floor} {i^2}}})
(=sum_{d=1}^n{phi(d)S(lfloor{frac{n}{d}} floor)})
满足杜教筛形式。