51Nod 1705 七星剑

一道很新颖的概率DP，我看数据范围还以为是有指数级别的复杂度的呢

记得有人说期望要倒着推，但放在这道题上，就咕咕了吧。

我们考虑正着概率DP，设(fi)表示将剑升到(i)颗星花费的期望，这样我们可以得出转移：

• (f_i=f_i+f_{i-1}+c_i) (期望的线性性质，因为无论如何我这(c_i)的代价是一定要花的（无论成功与否))
• (f_i=f_i+(f_i-f_{i-lose_{i,j}-1})cdot(1-prob_{i,j}))(表示失败降过星之后在通过各种情况（这个之前已经计算过了）再爬上来)

然后乍一看很成功，但是这个转移有个致命的问题：在转移2中，式子两边同时出现了(f_i)

这就是传说中的成环DP了，比较通用的方法是利用图论的哲学操作消去这个情况，但我太弱了所以不会

但在这里有一种说出来吓死你的智障方法——移项

我们连立两个方程，然后将2中的(f_i imes (1-prob_{i,j}))移过去即可得到：

(f_i=frac{(f_{i-1}+c_j-(1-prob_{i,j})cdot f_{i-1-lose_{i,j}})}{prob[i][j]})

然后就可以直接(O(7n))的DP了，这个复杂度是假的吧

最后注意一下无解的情况要特判

CODE

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef double DB;
const int N=105;
const DB EPS=1e-6,INF=1e99;
int c[N],n,lose[10][N];
DB p[10][N],f[10],ans;
bool flag=0;
inline void miner(DB &x,DB y)
{
	if (x>y+EPS) x=y;
}
int main()
{
	//freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
	register int i,j; scanf("%d",&n);
	for (i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&c[i]);
	for (i=1;i<=7;++i)
	{
		for (flag=0,j=1;j<=n;++j)
		scanf("%lf",&p[i][j]),flag|=p[i][j]>EPS;
		if (!flag) return puts("-1"),0;
	}
	for (i=1;i<=7;++i)
	for (j=1;j<=n;++j)
	scanf("%d",&lose[i][j]);
	for (i=1,f[1]=INF;i<=7;++i,f[i]=INF)
	for (j=1;j<=n;++j)
	if (p[i][j]>EPS) miner(f[i],(DB)(f[i-1]+c[j]-(1-p[i][j])*f[i-1-lose[i][j]])/p[i][j]);
	printf("%.9lf",f[7]);
	return 0;
}