Prüfer序列

Prüfer序列

树(Rightarrow)Prüfer序列

找到一个编号最小的叶子结点，把这个点删掉并且把跟他连着的那个点的编号加入Prüfer序列。

Prüfer序列(Rightarrow)树

令(S=[1,n]capmathbb Z)。
找到一个不在Prüfer序列中且在(S)中的最小的数，将它与Prüfer序列中的第一个元素连边，并将这个数和Prüfer序列的第一个元素删掉。
最后(S)会剩下最后两个元素，把这两个元素连边。

显然Prüfer序列与无根树一一对应。

Cayley定理

(n)个点的无标号的无根树的数量为(n^{n-2})。

Generalized Cayley定理

(n)个点构成(m)棵有标号无根树，且(1,cdots,m)两两所在树不相同，方案数为(mn^{n-m-1})。

Ex Cayley定理

(n)个点，点权为(val_i)，一条边((u,v))的权值为(val_uval_v)，树的权值为(prodlimits_{ein E}val_e=prodlimits_{i=1}^nval_i^{deg_i})，所有无根树的权值和为((prodlimits_{i=1}^nval_i)(sumlimits_{i=1}^nval_i)^{n-2})。

Some Properties

(1.deg=d)的点在Prüfer序列中出现(d-1)次。

(2.)给定度数(d_1,cdots,d_n)的(n)个点的有标号无根树的数量为(frac{(n-2)!}{prodlimits_{i=1}^n{(d_i-1)!}})。

(3.n)个点的给定(k)个点的度数(d_1,cdots,d_k)的有标号无根树的数量为({n-2choose s}frac{s!}{prodlimits_{i=1}^k(d_i-1)!}(n-k)^{n-2-s}quad(s=sumlimits_{i=1}^k(d_i-1)))。