记(x^{underline{n,m}}=prodlimits_{i=0}^{n-1}(x-im),lfloor n floor_m)为(le n)的最大的(m)的倍数。
( ext{Some Definition})
Rook多项式
给定棋盘(B)，在(B)上放(k)个Rook并使任意两个Rook不同行、不同列的方案数记为(r_k(B))，构造Rook多项式(R(B)=sumlimits r_i(B)x^i)。
用(B_{(i)})表示去掉(i)所在行和列之后的剩余部分，用(B_{[i]})表示去掉(i)之后的剩余部分。
那么显然有(r_k(B)=r_{k-1}(B_{(i)})+r_k(B_{[i]}))，即(R(B)=xR(B_{(i)})+R(B_{[i]}))。
然后我们有两个很显然的结论：
交换棋盘的任意两行/列不会产生影响。
两个行列相互不交的棋盘相互独立。
分级棋盘
给定一个(minmathbb {N_+})，将(B)划分，第(i)级包含([(i-1)m+1,im])行。
现在我们要在这个棋盘上放Rook，满足所有Rook在不同级、不同列。
在(m)级棋盘(B)上放(k)个Rook的方案数记为(r_{m,k}(B))。
Ferrers棋盘
若棋盘(B=(b_1,cdots,b_n))满足(b_ile b_{i+1})，则称(B)为Ferrers棋盘。
独立棋盘
若棋盘(B=(b_1,cdots,b_n))满足在每个(((i-1)m,m))中最多有一个(b_i)，则称(B)为独立棋盘。
上升棋盘
定义一个棋盘(m)-上升当且仅当(b_ige b_{i-1}+m)。
区
定义一个棋盘(B=(b_1,cdots,b_n))的一个区(z)为满足(forall kin(i,j],lfloor b_k floor_m=lfloor b_i floor_m)的极大子段((b_i,cdots,b_j))。
余
给定(z=(b_i,cdots,b_j))，定义它的余为( ho(z)=sumlimits_{k=i}^j(b_k-lfloor b_k floor_m))。
等价棋盘
定义两个棋盘(B,B')等价当且仅当(forall kge0,r_k(B)=r_k(B'))。
定义两个棋盘(B,B'm)-等价当且仅当(forall kge0,r_{m,k}(B)=r_{m,k}(B'))。
记做(Bequiv B')。
Rook向量
定义棋盘(B=(b_1,cdots,b_n))的Rook向量为(zeta(B)=(0,cdots,n-1)-(b_1,cdots,b_n))。
可以得到(Bequiv B'Leftrightarrowzeta(B))是(zeta(B'))的重排。（如果两个棋盘列数不等，那么就在列数少的那一个棋盘的前面补(b_i=0)的列）
( ext{Some Theorems})
Goldman-Joichi-White定理
给定Ferrers棋盘(B=(b_1,cdots,b_n))，那么有(sumlimits_{k=0}^nr_k(B)x^{underline{n-k}}=prodlimits_{i=1}^n(x+b_i-i+1))。
Foata-Schützenberger定理
任意一个Ferrers都与某个(1)-上升棋盘等价。
Briggs-Remme定理
给定独立棋盘(B=(b_1,cdots,b_n))，那么有(sumlimits_{k=0}^nr_{m,k}(B)x^{underline{n-k,m}}=prodlimits_{i=1}^n(x+b_j-(i-1)m))。
Barrese-Loehr-Remmel-S定理
给定Ferrers棋盘(B=(b_1,cdots,b_n))，那么有(sumlimits_{k=0}^nr_{m,k}(B)x^{underline{n-k,m}}=prodlimits_{i=1}^n(x+lfloor b_i
floor_m-(i-1)m+epsilon_i))。
其中(epsilon_i=[ ext{bi is the last column in zone z}]
ho(z))。
任意一个Ferrers棋盘都与某个(m)-上升棋盘等价。