莫队总结

莫队总结

标签： 算法——莫队
阅读体验： https://www.zybuluo.com/Junlier/note/1283909
我学的时候 大米饼的莫队
既然学了这个神奇的东西，那我就来简单地总结一下

无修改普通莫队

闲话要听

我现在说的莫队都只是无修改的莫队啊。。。
不需要觉得这个东西很难，虽然它并不简单。。。

首先放一个例题： luogu 小B的询问
其实就是小z的袜子的弱化版。。。虽然网上都拿小z的袜子作模板讲，但是还得小小推个式子我当时学的时候就比较烦。。。
行吧，这两题的核心部分是一模一样的，你会发现小B的询问的答案就是小z的袜子的答案的分子。。。

前置

• 想学莫队你首先得了解分块，不会出门左转度娘
• 使用莫队需要满足以下条件：

1. 区间查询问题且可以离线(当然不带修改)
2. 可以根据((l,r))的答案推出((l-1,r),(l,r-1),(l+1,r),(l+1,r+1))
   例如上面的例题：(拿((l,r)到(l-1,r))来讲)

   • 维护一个(sum[])数组表示每个数在当前询问区间的出现次数，(v[i])表示(i)位置上的数
     那么 $ Ans=sum_1^K sum[i] $
   • 所以每次Update的时候可以做到(O(1))完成
     1. (Ans)减去(sum[v[l-1]]^2)
     2. (sum[v[l-1]])减少一个
     3. (Ans)加上(sum[v[l-1]]^2)

实现

1. 对被操作序列分块(先理解为按$ sqrt n$分块吧)(先记下来，别问为什么！)
2. 把所有的询问记录下来，按左端点排序，若左端点相同则按右端点排序
   注意，这里不是直接排序，我们把左端点是否相同定义为是否在同一个块内
   也就是说： 左端点按它所在块的编号排序，若两个左端点在同一个块内，则按右端点排序
3. (O(m))枚举询问，做完了。。。(你暂时当我放屁)

解释一下为什么

不用多说，一切的一切都是为了保证复杂度，所以我们来推一下时间复杂度

1. 首先最外层肯定得枚举(m)个询问(已经排好序)，我们用(l,r)指针代表当前询问所在区间
2. 看一下(l)的移动复杂度：
   - (l)在同一个块内移动：每个询问最多(sqrt n)
   - (l)不在同一个块内移动： 每个询问最多(2sqrt n)
   总的来说就是(msqrt n)
3. 然后是(r)的移动复杂度：
   - 对于每一个块，r最多移动n次，我们又有(sqrt n)个块
   那么复杂度是(nsqrt n)
4. n和m的数量级一般差不多，所以整个莫队的复杂度就是(nsqrt n)滴辣

总结

怎么拓展上面也说了，怎么操作也就这样了，相信你依旧是懵的对不对，那我再总结一下

1. 分块 对后面的作用可以往上再看一下
2. 排序 对于所有询问我们做了排序，是为了保证我们的答案跟着询问拓展时的复杂度正确
3. (O(1))地实现拓展 这个上面我应该讲的比较清楚了吧(当然每道题不同)

那么应该还是比较清晰了吧
几道题目练练手
luogu 小B的询问 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2709
luogu 小Z的袜子 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1494
luogu 异或序列 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4462