zoukankan      html  css  js  c++  java
  • Catalan数的通项公式(母函数推导)

    首先

    [h_n=sum_{i}h_ih_{n-i-1} ]

    写出 (h) 的母函数 (H(x))
    那么

    [H(x)=H^2(x)x+1,H(x)=frac{1-sqrt{1-4x}}{2x} ]

    (解二元一次方程取符号时候要看是否收敛)

    引入牛顿二项式

    [(x+y)^{alpha}=sum_{k=0}^{infty}inom{alpha}{k}x^{alpha-k}y^{k} ]

    其中

    [inom{alpha}{k}=prod_{i=1}^{k}frac{alpha - i + 1}{i} ]

    展开可以得到

    [H(x)=frac{1-sum_{k=0}^{infty}inom{frac{1}{2}}{k}(-4x)^k}{2x} ]

    [=-frac{1}{2}sum_{k=0}^{infty}inom{frac{1}{2}}{k+1}(-4)^{k+1}x^k ]

    [=2sum_{k=0}^{infty}inom{frac{1}{2}}{k+1}(-4x)^k ]

    那么

    [h_n=2inom{frac{1}{2}}{n+1}(-4x)^n=2frac{prod_{i=0}^{n}(frac{1}{2}-i)}{(n+1)!}(-1)^n2^{2n} ]

    [=frac{prod_{i=0}^{n}(1-2i)}{(n+1)!}(-1)^n2^n=frac{prod_{i=1}^{n}(2i-1)}{(n+1)!}2^n=frac{(2n-1)!!}{(n+1)!}2^n ]

    [(2n-1)!!+2^nn!=(2n)! ]

    所以

    [h_n=frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=frac{1}{n+1}inom{2n}{n} ]

    完美解决

  • 相关阅读:
    Fiddler 简介
    jQuery 属性操作
    Win7的虚拟Wi-Fi
    接口与内部类
    继承(二)
    J2EE框架(Struts&Hibernate&Spring)的理解
    继承(一)
    对象与类
    控制流程
    数据类型
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/10145612.html
Copyright © 2011-2022 走看看