斐波拉契数列的性质

证明用到辗转相除相减法

定理一

• (gcd(f[i],f[i+1])=1)
  证明：(gcd(f[i], f[i+1]) = gcd(f[i+1]-f[i], f[i])=gcd(f[i-1], f[i]))
  递归下去，所以(gcd(f[i], f[i+1]) = gcd(f[1], f[2]) = 1)

定理二

• (f[m+n]=f[m−1]f[n]+f[m]f[n+1])
  证明：(f[m+n] = f[m+n-1]+f[m+n-2]=f[m+n-2]+f[m+n-3]+f[m+n-3]+f[m+n-4])
  (=f[m+n-2]+2*f[n+m-3]+f[n+m-4]=3*f[n+m-3]+2*f[n+m-4]=......)
  找找规律就得到了(f[m+n]=f[m−1]f[n]+f[m]f[n+1])不会正规证明

定理三

• (gcd(f[n+m],f[n])=gcd(f[n],f[m]))
  证明：(gcd(f[n+m], f[n])=gcd(f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1], f[n]))
  (=gcd(f[m]f[n+1], f[n])=gcd(f[n+1],f[n])*gcd(f[m], f[n])=gcd(f[m], f[n]))

定理四

• (gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)])
  证明：(gcd(f[n], f[n+m])=gcd(f[n], f[m]))
  即:(gcd(f[n], f[m+n]\%f[n])=gcd(f[n], f[(m+n)\%n]))
  这是辗转相除法的形式
  最后肯定有(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)])