【比赛题解】NOIP2021 题解

T1. 报数

可以先把十进制表示下数位含有 \(7\) 的所有数都求出来，然后去枚举这些数的倍数，将其标记。
如果当前枚举到的数被标记过了则就不需要再枚举倍数了（因为枚举的倍数肯定也被标记过了）。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n \log \log n)\)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char s = getchar();
	while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -f; s = getchar(); }
	while (s >= '0' && s <= '9') { x = x * 10 + s - '0'; s = getchar(); }
	return x * f;
}

const int SIZE = 1e7 + 500;

bool ori[SIZE + 10];
bool f[SIZE + 10];

int go[SIZE + 10]; 

void prework(int N) {
	for (int i = 1; i <= N; i ++)
		ori[i] = ori[i / 10] | (i % 10 == 7);

	for (int i = 1; i <= N; i ++) {
		if (!ori[i]) continue;
		if (f[i]) continue;
		for (int j = i; j <= N; j += i) f[j] = 1;
	}

	for (int i = N; i >= 1; i --)
		if (f[i])
			go[i] = go[i + 1];
		else
			go[i] = i;
}

void work() {
	int x = read();

	if (f[x])
		puts("-1");
	else
		printf("%d\n", go[x + 1]);
}

int main() {
	prework(SIZE);

	int T = read();

	while (T --)
		work();

	return 0;
}

// I hope changle_cyx can pray for me.

T2. 数列

注意到直接在序列后加入一个数会比较难维护，可以考虑从小到大向序列中加数。

设 \(f(i, j, h, S)\) 表示：已经选了 \(j\) 个数，选出的数的值域为 \([0, i]\)，二进制表示中的 \([0, i]\) 位中有 \(h\) 个 \(1\)，\([i + 1, *]\) 中的二进制表示为 \(S\) 时的方案数。

可以考虑枚举选了多少个 \(i\)。假设选了 \(x\) 个 \(i\)，那么就有转移：

\[f(i, j, h + (S + x) \bmod 2, \left\lfloor\frac{S + x}{2}\right\rfloor) \gets_+ f(i - 1, j - x, h, S) \cdot v_i^x \cdot \dbinom{j}{x} \]

最后答案即为：\(\sum\limits_{h + \text{count}(S) \leq k} f(m, n, h, S)\)。

其中 \(\text{count}(S)\) 表示 \(S\) 二进制表示下 \(1\) 的个数。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^4m)\)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char s = getchar();
	while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -f; s = getchar(); }
	while (s >= '0' && s <= '9') { x = x * 10 + s - '0'; s = getchar(); }
	return x * f;
}

int power(int a, int b, int p) {
	int ans = 1;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) ans = 1ll * ans * a % p;
		a = 1ll * a * a % p;
	}
	return ans;
}

const int N = 35, M = 110; 
const int mod = 998244353;

int n, m, k;
int val[M];

int fact[N], inv[N];
int C(int n, int m) {
	return 1ll * inv[n - m] * inv[m] % mod * fact[n] % mod;
}

int f[M][N][N][N];

void add(int &x, long long d) {
	x = (x + d) % mod;
}

int cnt[N];

int main() {
	n = read(), m = read(), k = read();

	for (int i = 0; i <= m; i ++)
		val[i] = read();

	fact[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) fact[i] = 1ll * fact[i - 1] * i % mod;
	inv[n] = power(fact[n], mod - 2, mod);
	for (int i = n - 1; i >= 0; i --) inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % mod;

	for (int x = 0, cur = 1; x <= n; x ++, cur = 1ll * cur * val[0] % mod)
		f[0][x][x % 2][x / 2] = cur;

	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		for (int x = 0, cur = 1; x <= n; x ++, cur = 1ll * cur * val[i] % mod) {
			for (int j = x; j <= n; j ++) {
				for (int h = 0; h <= n; h ++) {
					for (int S = 0; S <= n; S ++) {
						if (!f[i - 1][j - x][h][S]) continue;
						int d = 1ll * f[i - 1][j - x][h][S] * C(j, x) % mod * cur % mod;
						add(f[i][j][h + (S + x) % 2][(S + x) / 2], d);
					}
				}
			}
		}
	}

	for (int S = 1; S <= n; S ++)
		cnt[S] = cnt[S ^ (S & -S)] + 1;

	int ans = 0;
	for (int h = 0; h <= n; h ++)
		for (int S = 0; S <= n; S ++)
			if (h + cnt[S] <= k) add(ans, f[m][n][h][S]);

	printf("%d\n", ans);

	return 0;
}

T3. 方差

简单处理可以把方差的 \(n^2\) 倍化为：

\[n\left(\sum\limits_{i = 1}^n a_i^2\right) - \left(\sum\limits_{i = 1}^n a_i\right)^2 \]

那么，只需要知道一个序列的数值和与数值平方和，就可以计算出该序列的方差了。

记差分数组 \(b_i = a_i - a_{i - 1}\)，那么一次对 \(i\) 的操作就相当于交换 \(b_i, b_{i + 1}\)。

由于邻项交换，并且可以进行任意多次操作。
那么所有操作结束后的新差分数组 \(\{b'\}\) 可以是原差分数组 \(\{b\}\) 的任意一个排列。

一个结论：最优解的差分数组一定是先递减、后递增的（也就是单谷的）。

根据这个性质，我们就可以先将所有的 \(n - 1\) 个差分值从小到大排序，然后从小到大加入差分值。由于方差关系的是数据之间的相对大小，我们不妨钦定一个基准点，它的值为 \(0\)。

设 \(\text{sum}_i\) 表示前 \(i\) 小的差分值之和是多少。

设 \(f(i, S)\) 表示：考虑到前 \(i\) 个差分值，当前的数值和为 \(S\) 时，数值平方和最小是多少。

若向当前序列的左端加数，则有转移：

\[f(i, S + b_i \cdot i) \gets_\text{min} f(i - 1, S) + 2 \cdot S \cdot b_i + i \cdot b_i^2 \]

若向当前序列的右端加数，则有转移：

\[f(i, S + \text{sum}_i) \gets_{\min} f(i - 1, S) + \text{sum}_i^2 \]

最后的答案即为 \(\min\{n \cdot f(n - 1, S) - S^2\}\)。

设值域为 \(m\)，直接做显然是 \(\mathcal{O}(n^2m)\) 的。

但是注意到整个序列 \(\{a\}\) 中不同的数总共就只有 \(\min(n, m)\) 个，也就是说差分数组中不为 \(0\) 的有效差分值不超过 \(\min(n, m)\) 个，于是就可以优化到 \(\mathcal{O}(\min(n, m) \cdot nm)\)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char s = getchar();
	while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -f; s = getchar(); }
	while (s >= '0' && s <= '9') { x = x * 10 + s - '0'; s = getchar(); }
	return x * f;
}

const int N = 10010, SZ = 500100;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, m, L, res;
int a[N], b[N];

int sum[N];

int p, q;
int f[2][SZ];

int main() {
	n = read();

	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		a[i] = read(), m = max(m, a[i]);

	L = n * m;

	for (int i = 1; i < n; i ++) {
		b[i] = a[i + 1] - a[i];
		if (!b[i]) res ++;
	}

	sort(b + 1, b + n);

	for (int i = 1; i < n; i ++)
		sum[i] = sum[i - 1] + b[i];

	p = 0, q = 1;

	f[p][0] = 0;
	for (int S = 1; S <= L; S ++) f[p][S] = inf;

	for (int i = res + 1; i < n; i ++) {
		p ^= 1, q ^= 1;

		for (int S = 0; S <= L; S ++) f[p][S] = inf;
		for (int S = 0; S <= L; S ++) {
			f[p][S + sum[i]] = min(f[p][S + sum[i]], f[q][S] + sum[i] * sum[i]);
			f[p][S + b[i] * i] = min(f[p][S + b[i] * i], f[q][S] + 2 * S * b[i] + i * b[i] * b[i]);
		}
	}

	long long ans = 1e18;
	for (int S = 0; S <= L; S ++)
		ans = min(ans, 1ll * n * f[p][S] - 1ll * S * S);

	printf("%lld\n", ans);

	return 0;
}

T4. 棋局

（待填 ...）