有标号的DAG计数（FFT）

有标号的DAG计数系列

有标号的DAG计数I

题意

给定一正整数(n)，对(n)个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数，输出答案(mod 10007)的结果。(nle 5000)

题解

显然是(O(n^2))来做。
设(f(i))表示(i)个点有标号的有向无环图的个数。而(DAG)中的特殊点显然只有两种，要么是出度为(0)，要么入度为(0)。随便枚举哪一种都行，这里枚举入度为(0)的点。
那么得到式子：

[f(n)=sum_{i=1}^nC_n^if(n-i)2^{i(n-i)} ]

显然这样子枚举出来的并不是入度个数恰好为枚举个数的答案，所以需要容斥，也就是：

[f(i)=sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}C_i^jf(i-j)2^{j(i-j)} ]

(O(n^2))暴力(dp)即可。

有标号的DAG计数II

题意

给定一正整数(n)，对(n)个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数，输出答案(mod 998244353)的结果。(nle 10^5)

题解

推导同上题式子。考虑接着拆。
首先把(2^{j(i-j)})给拆了，(j(i-j)=i^2/2-j^2/2-(i-j)^2/2)
这样子令(t=sqrt 2)，也就是(2)在模意义下的二次剩余。
接着拆式子：

[egin{aligned} f(i)&=sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}C_i^jf(i-j)2^{j(i-j)}\ &=sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}frac{i!}{j!(i-j)!}f(i-j)t^{i^2-j^2-(i-j)^2}\ &=sum_{j=1}^n frac{(-1)^{j-1}}{j!t^{j^2}}*frac{f(i-j)}{(i-j)!t^{(i-j)^2}}*i!*t^{i^2}\ frac{f(i)}{i!t^{i^2}}&=sum_{j=1}^n frac{(-1)^{j-1}}{j!t^{j^2}}*frac{f(i-j)}{(i-j)!t^{(i-j)^2}} end{aligned} ]

令(F(x))为(frac{f(i)}{i!t^{i^2}})的生成函数，(G(x))为(frac{(-1)^{i-1}}{i!t^{i^2}})的生成函数，那么上面的等式写成：(F(x)=G(x)F(x)+1)，因为卷积之后漏掉了(F(0))。
那么解出(F(x)=frac{1}{1-G(x)})，多项式求逆即可。

有标号的DAG计数III

题意

给定一正整数(n)，对(n)个点有标号的有向无环图进行计数，这里加一个限制：此图必须是弱连通图。输出答案(mod 10007)的结果。(nle 5000)

题解

又回到了一个(O(n^2))的做法。设答案为(g(i))。那么考虑这里和前面的区别在哪儿？这里要求弱连通。那么连通和不连通的考虑方法一般就是总数减去不合法，那么考虑什么东西是不合法的。

[g(i)=f(i)-sum_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}g(j)f(i-j) ]

为啥呢？因为一旦不是弱连通了，那么必定有两个以上的联通块。我们枚举其中的一个包含(1)号点的联通块大小，那么这个方案数是(g(j))，而其他点随意构成(DAG)，这样就是上述的式子了。
所以把(I)的代码蒯过来再加一个(dp)算(g)就好了。

有标号的DAG计数IV

题意

给定一正整数(n)，对(n)个点有标号的有向无环图进行计数，这里加一个限制：此图必须是弱连通图。输出答案(mod 998244353)的结果。

题解

拆式子啊QwQ。

[egin{aligned} g(i)&=f(i)-sum_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}g(j)f(i-j)\ &=f(i)-sum_{j=1}^{i-1}frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}g(j)f(i-j)\ frac{g(i)}{(i-1)!}&=frac{f(i)}{(i-1)!}-sum_{j=1}^{i-1}frac{g(j)}{(j-1)!}frac{f(i-j)}{(i-j)!} end{aligned} ]

这样子可以构建三个生成函数
(G(x)=sum frac{g(i)}{(i-1)!}x^i)，(F(x)=sum frac{f(i)}{(i-1)!}x^i)，(H(x)=sum frac{f(i)}{i!}x^i)。其中(sum)都表示(sum_{i=1}^{infty})。
卷积一下就是(G(x)=F(x)-G(x)*H(x))。
化简一下就是(G(x)=frac{F(x)}{1+H(x)})。
多项式求逆即可。

I

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 10007
#define MAX 5050
int n,f[MAX],bin[MAX*MAX],jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int main()
{
	scanf("%d",&n);f[0]=jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=bin[0]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(int i=1;i<=n*n;++i)bin[i]=2*bin[i-1]%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
		{
			int tmp=C(i,j)*f[i-j]%MOD*bin[j*(i-j)]%MOD;
			if(j&1)add(f[i],tmp);else add(f[i],MOD-tmp);
		}
	printf("%d
",f[n]);
	return 0;
}

II

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define REM 882049182
#define MAX 300000
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int r[MAX],W[MAX];
void NTT(int *P,int opt,int N)
{
	int l=0;for(int i=1;i<N;i<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
		for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
			}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(&P[1],&P[N]);
		for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
	}
}
int A[MAX],B[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
	if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
	Inv(a,b,len>>1);
	for(int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1,len<<1);NTT(B,1,len<<1);
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
	NTT(A,-1,len<<1);
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+b[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+MOD-A[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=B[i]=0;
}
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int N,n,F[MAX],G[MAX];
int main()
{	
	scanf("%d",&n);jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(N=1;N<=n;N<<=1);G[0]=1;int t=fpow(REM,MOD-2);
	for(int i=1;i<N;++i)G[i]=1ll*jv[i]*fpow(t,1ll*i*i%(MOD-1))%MOD;
	for(int i=1;i<N;++i)if(i&1)G[i]=MOD-G[i];
	Inv(G,F,N);
	printf("%lld
",1ll*F[n]*jc[n]%MOD*fpow(REM,1ll*n*n%(MOD-1))%MOD);
	return 0;
}

III

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 10007
#define MAX 5050
int n,f[MAX],g[MAX],bin[MAX*MAX],jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int main()
{
	scanf("%d",&n);f[0]=jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=bin[0]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(int i=1;i<=n*n;++i)bin[i]=2*bin[i-1]%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
		{
			int tmp=C(i,j)*f[i-j]%MOD*bin[j*(i-j)]%MOD;
			if(j&1)add(f[i],tmp);else add(f[i],MOD-tmp);
		}
	for(int i=0;i<=n;++i)g[i]=f[i];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<i;++j)
			add(g[i],MOD-C(i-1,j-1)*g[j]%MOD*f[i-j]%MOD);
	printf("%d
",g[n]);
	return 0;
}

IV

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define REM 882049182
#define MAX 300000
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int r[MAX],W[MAX];
void NTT(int *P,int opt,int N)
{
	int l=0;for(int i=1;i<N;i<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
		for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
			}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(&P[1],&P[N]);
		for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
	}
}
int A[MAX],B[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
	if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
	Inv(a,b,len>>1);
	for(int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1,len<<1);NTT(B,1,len<<1);
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
	NTT(A,-1,len<<1);
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+b[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+MOD-A[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=B[i]=0;
}
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int N,n,F[MAX],G[MAX],H[MAX],P[MAX];
int main()
{	
	scanf("%d",&n);jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(N=1;N<=n;N<<=1);G[0]=1;int t=fpow(REM,MOD-2);
	for(int i=1;i<N;++i)G[i]=1ll*jv[i]*fpow(t,1ll*i*i%(MOD-1))%MOD;
	for(int i=1;i<N;++i)if(i&1)G[i]=MOD-G[i];
	Inv(G,F,N);
	for(int i=1;i<N;++i)F[i]=1ll*F[i]*jc[i]%MOD*fpow(REM,1ll*i*i%(MOD-1))%MOD;
	for(int i=1;i<N;++i)H[i]=1ll*F[i]*jv[i]%MOD;H[0]=1;
	for(int i=1;i<N;++i)F[i]=1ll*F[i]*jv[i-1]%MOD;F[0]=0;
	Inv(H,P,N);
	NTT(F,1,N<<1);NTT(P,1,N<<1);
	for(int i=0;i<N<<1;++i)G[i]=1ll*F[i]*P[i]%MOD;
	NTT(G,-1,N<<1);
	printf("%lld
",1ll*G[n]*jc[n-1]%MOD);
	return 0;
}