单位根反演
看起来原来是写过一次这道题目的。
然而从来没有想过为什么。
所以来从头算一算QwQ。
式子是这样的：
[forall k,[n|k]=frac{1}{n}sum_{i=0}^{n-1}omega_n^{ik}
]
简单的证明：
首先当([n|k])的时候，(omega_n^{ik}=omega^0=1)，所以原式等于(1)。
否则是一个等比数列求和，(displaystyle frac{1}{n}frac{omega_n^{nk}-omega_n^0}{omega_n^k-1}=0)。
加入我们要算某个多项式的特定倍数的系数和。
也就是要求这个：(displaystyle sum_{i=0}^{[frac{n}{k}]}[x^{ik}]f(x))
那么我们来推推式子：
[egin{aligned}
sum_{i=0}^{[frac{n}{k}]}[x^{ik}]f(x)&=sum_{i=0}^n[k|i][x^i]f(x)\
&=sum_{i=0}^n [x^i]f(x)frac{1}{k}sum_{j=0}^{k-1}omega_{k}^{ji}\
&=frac{1}{k}sum_{i=0}^n a_isum_{j=0}^{k-1}omega_{k}^{ij}\
&=frac{1}{k}sum_{j=0}^{k-1}sum_{i=0}^n a_i(omega_k^j)^i\
&=frac{1}{k}sum_{j=0}^{k-1}f(omega_{k}^j)
end{aligned}]