【UOJ#75】【UR #6】智商锁（矩阵树定理，随机）
题面
题解
这种题我哪里做得来啊[惊恐]，，，
题解做法：随机(1000)个点数为(12)的无向图，矩阵树定理算出它的生成树个数，然后找到四张图不拼接直接放在一起，也就是找到四个图，假设其生成树个数是(f(G))，那么就找到(f(G_1)f(G_2)f(G_3)f(G_4)equiv k)，然后预处理两两的乘积，丢到哈希表/( ext{map})里，枚举另外一半直接查。。。
无向图的生成方式是每条边出现的概率是(0.8)。然后(rand)的时候确保图连通。
还需要再特判一下(k=0)的情况。
然后概率的证明直接蒯题解吧。。。
首先我们随机无向图的方法是每一条边生成的概率都是(0.8)，而(12)个点的完全图的生成树个数是(12^{10})，这是远大于模数的，所以我们可以近似地把(f_i)看做均匀分布的随机数（这个和我们平时写的哈希表的思想类似）。接下来我们把这(1000)个随机数的集合四次方再模上模数，这样我们就得到了(10^{12})个数，和刚才同理，我们也可以把这(10^{12})个数给近似地看成均匀分布的随机数。
接下来我们要求的是(10^{12})个小于等于(10^9)的随机数完全覆盖(0)到(10^9)之间所有数的概率是多少。首先一个数被覆盖的概率是(1-(1-frac{1}{10^9})^{10^{12}} approx 1-mathrm{e}^{-10^3})，我们可以近似地认为所有数都被覆盖的概率是((1-mathrm{e}^{-10^3})^{10^9})，实际上这个数是非常接近(1)的（因为(e^{10^3})比(10^9)大到哪里去都不知道了）
打不过打不过。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
#define MOD 998244353
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
struct Graph
{
int g[15][15],a[15][15],T,edge;
void Calc()
{
T=1;
for(int i=2;i<=12;++i)
{
for(int j=i+1;j<=12;++j)
while(a[j][i])
{
int t=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i;k<=12;++k)a[i][k]=(a[i][k]+MOD-1ll*a[j][k]*t%MOD)%MOD;
for(int k=i;k<=12;++k)swap(a[i][k],a[j][k]);
T=MOD-T;
}
}
for(int i=2;i<=12;++i)T=1ll*T*a[i][i]%MOD;T=(T+MOD)%MOD;
}
void Add(int u,int v){++edge;g[u][v]=g[v][u]=1;a[u][v]--;a[v][u]--;a[u][u]++;a[v][v]++;}
void Rand()
{
for(int i=2;i<=12;++i)Add(rand()%(i-1)+1,i);
for(int i=1;i<=12;++i)
for(int j=i+1;j<=12;++j)
if(!g[i][j]&&rand()%10<8)
Add(i,j);
Calc();
}
void Output(int N)
{
for(int i=1;i<=12;++i)
for(int j=i+1;j<=12;++j)
if(g[i][j])printf("%d %d
",N+i,N+j);
}
}G[1010];
pair<int,int> a[1010101];
int S[1010101],tot;
map<int,pair<int,int> >M;
void Output(int a,int b,int c,int d)
{
printf("48 %d
",G[a].edge+G[b].edge+G[c].edge+G[d].edge+3);
G[a].Output(0);G[b].Output(12);G[c].Output(24);G[d].Output(36);
printf("1 13
13 25
25 37
");
}
int main()
{
for(int i=1;i<=1000;++i)G[i].Rand();
for(int i=1;i<=1000;++i)
for(int j=i;j<=1000;++j)
++tot,M[S[tot]=1ll*G[i].T*G[j].T%MOD]=a[tot]=make_pair(i,j);
int T=read();
while(T--)
{
int K=read();if(!K){puts("2 0");continue;}
for(int i=1;i<=tot;++i)
{
int v=1ll*K*fpow(S[i],MOD-2)%MOD;
if(M.find(v)!=M.end())
{
Output(a[i].first,a[i].second,M[v].first,M[v].second);
break;
}
}
}
return 0;
}