【Wannafly挑战赛29F】最后之作（Trie树，动态规划，斜率优化）

【Wannafly挑战赛29F】最后之作（Trie树，动态规划，斜率优化）

题面

牛客

题解

首先考虑怎么计算([l,r])这个子串的不同的串的个数。
如果(l=1)，我们构建(Trie)树然后第(i)层的点的个数就是([1,i])的答案。
如果(l)要向右移动一位，显然就是我们要把最上面那一层给删掉。
那么我们暴力对(Trie)树进行合并，因为每个点最多只会被合并一次，所以复杂度是(O(|sum|*tot))的，其中(tot)是(Trie)树点数，(|sum|)是字符集大小。
因为数据范围较大，显然不可能暴力把所有([l,r])的答案都维护出来，但是我们发现当(l)固定的时候，(r)单增时，([l,r])不同的串的个数也是单增的，所以我们只需要维护一下单增的位置就行了。
考虑维护数组(g[i][j])表示当前左端点在(i)，不同的串的数量为(j)时最靠左的右端点。这个每次二分一下就行了。
接下来就把(g[i][j])设为([i,j])这段区间的不同的串的个数了，这个只需要在我们预处理的东西里二分。
如果(dp)的话，显然大家都会(O(len^2))的暴力。
因为上面预处理是右侧的第一个右端点，所以我们考虑从后往前(dp)。如果要从前往后(dp)的话就维护以这个点为右端点的第一个左端点。这样子的话串要反着插入进(Trie)中。
设(f[i])表示当前已经考虑完了([i,len])的最大贡献，显然(i)是左端点，我们就需要枚举一个右端点，此时的转移是：

[f[i]=max_{r=i}^{len}{f[r+1]+p*g[i][r]+a[i]*(r-l+1)+b[i]} ]

我们对于(g[i][r])相同的一段(r)可以一起考虑，这样子要求的本质上就是(val[r]+a[i]*r)的最大值，其中(val[r])是只和(r)相关的东西。发现这个东西是一个一次函数的形式，要求在(x=a[i])位置时的最大值。不难想到这是一个斜率优化的形式，于是就可以拿李超线段树直接维护了，这样子的复杂度是(O(n*len*logn))。

首先注意到因为(p>0)，所以即使我们可以直接把(g[i][r])更大的(r)也给当成当前的(g[i][r])，也就是我们每次转移都是从一段后缀转移过来。
于是我们的问题可以变成从后往前依次把点加入进凸壳，在每个时刻凸壳加入完之后，我们要把它给转移到若干位置上去。这样子发现逃脱不了在凸壳上二分的问题。也就是我们并不能优化复杂度。因为(a_i)不具有单调性。
那么，现在我们把(dp)正过来做，变成：

[f[i]=max_{l=1}^{i}{f[l-1]+p*g[l][i]+a[l]*(i-l+1)+b[l]} ]

于是要求的东西变成了(val[l]+i*a[l])最大。
我们要构建的凸壳也变成了前缀凸壳，每次查询的(x=i)。
这个时候发现查询的东西具有了单调性，那么我们就可以有更加有趣的做法了。
考虑对于(kin[1,n])维护一个在凸壳上的指针，维护的表示的是(g[l][i]=k)时，在凸壳上查询的指针。每次修改凸壳的时候，如果当前指向的位置为删掉了，显然指针就会减一，然后再暴力向右移动就好了。
因为凸壳的点不单调，所以要用平衡树维护凸壳，简单的用(set)实现就好了。
这样子的复杂度是(O(nm+nlogn))。

代码它咕咕咕了。