斐波那契数列的鬼畜的性质

斐波那契数列的鬼畜的性质

斐波那契数列定理1

(gcd(f[i],f[i+1])=1)
利用辗转相减法
证明：
(gcd(f[i],f[i+1]))
(=gcd(f[i+1]-f[i],f[i]))
(=gcd(f[i-1],f[i]))
(=....)
(=gcd(f[1],f[2])=1)

斐波那契数列定理2

(f[m+n]=f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1])
证明：
(f[m+n]=f[n+m-1]+f[n+m-2])
(=2*f[n+m-1]+f[n+m-3])
(=....)
设(f[n+m]=a[x]f[n+m-x]+b[x]f[n+m-x-1])
(=a[x](f[n+m-x-1]+f[n+m-x-2])+b[x]f[n+m-x-1])
(=(a[x]+b[x])f[n+m-x-1]+a[x]f[n+m-x-2])
所以
(x=1)时，(a[1]=f[2]=1,b[1]=f[1]=1)
(x=2)时，(a[2]=f[1]+f[2]=f[3]=2,b[2]=a[1]=1)
(x=k+1)时，(a[k+1]=a[k]+b[k]=f[k+1]+f[k]=f[k+2],b[k+1]=a[k]=f[k+1])
所以，当(x=n)时
(f[n+m]=a[n]f[m]+b[n]f[m+1])
(=f[n+1]f[m]+f[n]f[m-1])

斐波那契数列定理3

(gcd(f[n+m],f[n])=gcd(f[n],f[m]))
由上面式子得到
(gcd(f[n+m]=f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1],f[n]))
(=gcd(f[n+1]f[m],f[n]))
(=gcd(f[n+1],f[n])*gcd(f[m],f[n]))
(=1*gcd(f[m],f[n]))
(=gcd(f[m],f[n]))

斐波那契数列定理4

(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)])
证明
(gcd(f[n],f[n+m]))
(=gcd(f[n],f[n+m]\%f[m]))
(=gcd(f[n],f[m]))
(=gcd(f[n],f[(n+m)\%n]))
这是辗转相除的形式
所以，最后有
(gcd(f[n],f[n+m]))
(=gcd(f[0],f[gcd(n,n+m)]))
(=f[gcd(n,n+m)])