【BZOJ4036】按位或（Min-Max容斥，FWT）

【BZOJ4036】按位或（Min-Max容斥，FWT）

题面

BZOJ
洛谷

题解

很明显直接套用(min-max)容斥。
设(E(max{S}))表示(S)中最晚出现元素出现时间的期望，(min)同理。
那么(E(max{S})=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|}E(min{T}))
考虑怎么求(E(min{T}))，很容易发现只需要或上了任何一位就行了。
也就是

[E(min{T})=frac{1}{sum_{Gcap T eq phi }p[G]} ]

只需要任意一个和(T)存在交的集合(G)就会产生至少一个位。
现在的问题转换成了怎么求任何一个和(T)有交的东西。
正难则反，求所有和(T)无交集的集合，设(x=Toplus(2^n-1))，也就是(T)的补集。
显然所有的与(T)无交集的集合都是(x)的子集，那么只需要预处理子集和就好了，(FWT)实现。
时间复杂度(O(2^n n))，代码短的不行。

#include<cstdio>
int n,cnt[1<<20],N;
double P[1<<20],ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);N=1<<n;
	for(int i=0;i<N;++i)scanf("%lf",&P[i]),cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
			for(int k=0;k<i;++k)
				P[i+j+k]+=P[j+k];
	for(int i=1;i<N;++i)if(1-P[(N-1)^i]>1e-8)ans+=((cnt[i]&1)?1:-1)/(1-P[(N-1)^i]);
	if(ans<1e-10)puts("INF");else printf("%.10lf
",ans);
	return 0;
}