【BZOJ1797】[AHOI2009]最小割（网络流）
题面
题解
最小割的判定问题，这里就当做记结论吧。（源自(lun)的课件）
我们先跑一遍最小割，求出残量网络。然后把所有还有流量的边拿出来跑(Tarjan)缩(SCC)。
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如果一条满流边的两个端点不在同一个(SCC)中则这条边可能存在于最小割中。
证明：考虑如果减少一条边的容量之后，最小割变小了，证明这条边可能存在于最小割之中。
那么反过来，如果((u,v))在同一个(SCC)中，我们把(u ightarrow v)这条边的容量减小(d)，那么我们把这个环上的所有边的容量都减少(d)，仍然满足流量平衡，意味着最大流即最小割不变。反之最大流即最小割改变，那么这条边可能存在于最小割中。 -
如果一条满流边(u ightarrow v)的端点满足(u)和(S)在同一个(SCC)，(v)和(T)在同一个(SCC)，那么这条边必定在最小割中。
证明：增加一条边的容量，如果最小割增加，意味着这条边必定在最小割中。因为(u ightarrow)是满流的边，所以沿反边(u)可达(S)，(T)可达(v) 。如果(S,u)在同一个(SCC)，(T,v)在同一个(SCC)中，说明(S)到(u)上还有增广路，(v)到(T)上还有增广路，那么(u ightarrow v)的流量增加最小割也会增加，此时(u ightarrow v)必定在最小割中。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 5000
#define MAXL 60060
#define inf 1000000000
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next,w;}e[MAXL<<1];
int h[MAX],cnt=2;
inline void Add(int u,int v,int w)
{
e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;
e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++;
}
int n,m,S,T,level[MAX],cur[MAX];
bool bfs()
{
memset(level,0,sizeof(level));level[S]=1;
queue<int> Q;Q.push(S);
while(!Q.empty())
{
int u=Q.front();Q.pop();
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(e[i].w&&!level[e[i].v])
level[e[i].v]=level[u]+1,Q.push(e[i].v);
}
return level[T];
}
int dfs(int u,int flow)
{
if(u==T||!flow)return flow;
int ret=0;
for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v,d;
if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1)
{
d=dfs(v,min(flow,e[i].w));
ret+=d;flow-=d;
e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;
if(!flow)break;
}
}
if(!ret)level[u]=0;
return ret;
}
int Dinic()
{
int ret=0;
while(bfs())
{
memcpy(cur,h,sizeof(h));
ret+=dfs(S,inf);
}
return ret;
}
int dfn[MAX],low[MAX],G[MAX],gr,tim,St[MAX],top;
bool ins[MAX];
void Tarjan(int u)
{
dfn[u]=low[u]=++tim;St[++top]=u;ins[u]=true;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
{
if(!e[i].w)continue;
int v=e[i].v;
if(!dfn[v])Tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
else if(ins[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(low[u]==dfn[u])
{
++gr;int v;
do{v=St[top--];G[v]=gr;ins[v]=false;}while(u!=v);
}
}
int main()
{
n=read();m=read();S=read();T=read();
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int u=read(),v=read(),w=read();
Add(u,v,w);
}
Dinic();
for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i])Tarjan(i);
for(int i=2;i<cnt;i+=2)
if(e[i].w)puts("0 0");
else
{
if(G[e[i].v]^G[e[i^1].v])printf("1 ");
else printf("0 ");
if(G[e[i].v]==G[T]&&G[e[i^1].v]==G[S])puts("1");
else puts("0");
}
return 0;
}