本篇为MIT公开课——线性代数 笔记。
向量空间
满足条件
向量空间满足条件：该集合中任意两个向量的线性组合，还在这个集合内，这个集合就是向量空间。
举例
1.在 (R^{3}) 空间中，我们取两个子空间，一个过零点平面 (P) 和一条过零点直线 (L) 。我们取他们的并集，(P∪L)，这个并集是不是子空间？
不是。因为我们在平面和直线中各取一个向量，加法不封闭，结果不在并集上。
2.我们在第一问的基础上，做交集 (P∩L) 。她是子空间吗？
是。因为她们的交集就是原点。原点肯定是子空间。
推广
如果不是上例中特定平面和直线的情况，推广到任意两个子空间的交集，她们的交集是子空间吗？
假设有子空间 (S) 和 (T) , 她们的交集 (S∩T) 是子空间。
证明：
子空间需要满足加法和数乘封闭性。
在 (S∩T) 任取两个向量 (v、w) ，由于 (v、w) 都属于 (S) ,那么 (v+w) 属于 (S) ,同理，由于 (v、w) 都属于 (T) ,那么 (v+w) 属于 (T) , 所以(v+w) 结果在并集里面，满足加法封闭性。
在交集中任取一向量，乘以标量后，肯定还属于(S) 和 (T) 。
所以 (S∩T) 是子空间。
列空间
举例：
(A) 的列空间是(R^{4}) 的子空间。记作 (C(A)) .
空间与方程的联系
(C(A)) 由所有列的线性组合构成。3个列向量的线性空间不可能充满整个4维空间，它是几维的？
我们联系线性方程来理解：
对于方程 (A x=b) ,对于任意的 右侧向量 (b) 都有解吗？
不是，因为对于该例，有 (4) 个未知量，却只有 (3) 个方程组.
我们可以写出来：
我们是假定 (x) 已知，来求解 (b) .
所以，这里 (3) 方程 (4) 未知数，不可能对所有可能都有解的。
什么右侧向量能让方程有解？
(b) 是 (A) 的线性组合时才能解出 (x) .这时 (b) 在 (A) 的列空间内。
结论：
(A x=b) 有解，当且仅当 (b) 属于 (A) 的列空间。
所以列空间优点就是能告诉我们何时有解。
线性无关
如果将 (A) 中三列进行线性组合，是否每一列都对组合有所贡献？
不是。第三列可以由第一列加第二列相加得到，也就是说，第三列在第一列和第二列的线性组合
里面。 第三列对向量空间毫无贡献。
所以这三列不是线性无关。列三可以由列一和列二的线性组合取代。
我们把前两列称为 “主列” 。
当然也可以选后两列，但 主列选取一般优先考虑考前的线性无关向量。
因此这里 (A) 的列的所有线性组合，是 (R^{4}) 中的二维子空间。
零空间
概念
零空间是一种完全不同的子空间。
举例：
零空间就是方程 (Ax=0) 的所有解 (x) 的集合。即 (b) =0 情况下。
前面关注的是 (b) ,我们现在关注的是 (x) .
(x) 有三个分量，所以她属于 (R^{3}) 。
求解零空间和列空间一般也都是用消元法，不过这个例子也能一眼看出来：
(C) 可以取任意数。
因此 这个零空间 就是 (R^{3}) 中过零点的直线。
检验
检验：(Ax=0) 的解构成一个子空间。
1）任取两个向量，使得 (Av=0)，(Aw=0)。
那么 (A(v+w)=0).
2）如果 (Av=0),那么 (A(12v)=0),我们可以提取出标量，(12Av=0)。
总结
1）向量空间的关键是一定要包含 零向量，即原点。
2）列空间和零空间是构建子空间的两种办法。 列空间是从几个列向量的线性组合来构建，零空间通过方程组，让 (x) 满足特定条件来获得。