本篇为MIT公开课——线性代数 笔记。
这节课将转入求解 (Ax=b) ,可能有解也可能无解,如果有解,就要确定是唯一解还是多解,然后求出所有解。
举例
以上节课例子为例:
写成矩阵形式,对增广矩阵 ([A\, b]) 消元。
可解性
消元后方程3,有
这就是有解的条件。满足 (b_1+b_2=b_3) .
因为行三是前两行的线性组合。
(Ax=0) 有解的条件:(b) 必须是 (A) 各列的线性组合,即(b) 属于 (C(A)).
该例子用另一种方式描述。就是:(A) 各行的线性组合得到零行,右侧向量同样的组合必须也是零。
算法
假设(b=left( egin{array}{c} 1 \ 5 \ 6 \ end{array} ight)) ,则有:
第一步:求一个特解 (x_p)。
方法:
1)将所有自由变量设为0,因为自由变量可以任意取值,设为0方便计算。
2)然后解出主变量。
回代
解得特解为:
第二步:求出 (Ax=0) 零空间 (x_n),将特解与零空间相加就是 (Ax=b) 所有的解。即:
可以求得:
完整解是(Ax=0) 的零空间沿着一个特解方向平移的结果。
注意完整解不是向量空间。
满秩
对于 (m*n) 矩阵 (A) ,秩为 (r) ,存在
满秩分别对行列有两种情况。
列满秩
列满秩表示为 (r=n) 。
(n) 个主变量,0个自由变量。 零空间 (N(A)) 只有一个零向量,因为没有自由变量可以赋值。
(Ax=b) 唯一解。即 (x=x_p) .
此时只有0或1个解。
举例
上下消元后除以主元后化1:
零空间除了0外,没有其他使得列的线性组和为0.所以(Ax=b) 的所有解的结构只有特解。
(Ax=b) 并不总是有解,只有 (b) 是(A) 各列的线性组合时才有解。
行满秩
行满秩表示为 (r=m) 。
可解性,只要满足消元时不会出现零行即可,因为
(Ax=b) 对于所有的 (b) 都有解。
行满秩,有 (m) 个主变量,(n-m) 个自由变量。举例
(left( egin{array}{cc} -frac{4}{5} & -frac{3}{5} \ frac{17}{5} & frac{14}{5} \ end{array} ight)) 即为 (-F) ,将构成零空间矩阵。
满秩方阵
满秩方阵表示为 (r=m=n) 。这种情况一定出现在方阵上。
(A) 可逆。(Ax=0) 零空间 只有零向量。(Ax=b) 对于所有的 (b) 都有解。但是 (x) 唯一解。
总结
矩阵的秩决定了方程组解的数目。
1.r=m=n
(R=I),
(Ax=b) 唯一解。
2.r=n<m
(R=left( egin{array}{c} I \ 0 \ end{array} ight))
(Ax=b) 有0或者1个解。
3.r=m<n
(R=(IF)) ,(I) 可能都在前面,也可能(I) 和 (F) 相间交叉出现。
(Ax=b) 无穷多解。因为总有零空间处理。
3.r<m,r<n
(R=left( egin{array}{c} IF \ 00 \ end{array} ight))
(Ax=b) 要么无解,因为有些 (b) 不满足 “0=0”,要么无穷解。