线性代数11.矩阵空间、秩1矩阵和小世界图

矩阵空间

矩阵空间就是一些矩阵的集合。

向量空间的运算同样适用于矩阵空间，可以进行矩阵加法和数乘，注意不包括矩阵相乘，矩阵空间只考虑加法和数乘封闭性。

把 (R^n) 的概念延申到 (R^{n*n}),矩阵空间可以看成一种新的向量空间。

(3*3) 矩阵

以下讨论均以 (3*3) 矩阵 为例：

3*3矩阵构成矩阵空间记为 (M) ,子空间有

1. 上三角矩阵,记为 (U)
2. 对称矩阵,记为 (S)
3. 对角矩阵，记为 (D)

我们想要知道她们的维数，就需要看她们的基由多少个向量组成。

M

类比向量，一个向量有n个可以独立变化的元素，就在n维空间里面，类似的，所有3*3矩阵有9个可以独立变化的元素，所以她在9维空间里面。

M的基由9个矩阵构成：

[left( egin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ end{array} ight)\,,left( egin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ end{array} ight)\,,left( egin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ end{array} ight) ext{...}left( egin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ end{array} ight) ]

S

对称矩阵有6个可以独立变化的元素，所以她在6维空间里。

U

上三角矩阵有6个可以独立变化的元素，所以她在6维空间里。

D（S∩U）

S∩U就是对角矩阵，对角矩阵有3个可以独立变化的元素，所以她在3维空间里。

S+U

S+U的意思是，任取S和U中元素/矩阵相加构成新矩阵，最终可以得到所有3*3矩阵，在9维空间里面。

定理

从上面分析中，我们可以得到：

[dim（S）+dim（U）=dim（S∩U）+dim（S+U） ]

这个式子是通用的。

拓展

我们构造一个新的没有向量的向量空间。她来自微分方程。

[frac{d^2y}{dx^2}+y=0 ]

解是 (y=C_1cosx+C_2sinx).

这是一个向量空间，一组基就是 (cosx) 和 (sinx) ,维度是2，

这个例子的要点是，这些不是向量，是函数，但我们可以当成向量来看待。

所以线性代数内容不仅仅可以用于矩阵。

秩为1矩阵

[A=left( egin{array}{ccc} 1 & 4 & 5 \ 2 & 8 & 10 \ end{array} ight) ]

可以看出，第二行是第一行的2倍，第三列是前两列相加，第二列又是第一列4倍，所以秩为1，列空间维度是1.

(A) 可以表示成一种更漂亮的形式：

[left( egin{array}{ccc} 1 & 4 & 5 \ 2 & 8 & 10 \ end{array} ight)=left( egin{array}{c} 1 \ 2 \ end{array} ight).left( egin{array}{ccc} 1 & 4 & 5 \ end{array} ight) ]

可以表示成 主列 乘以 主行。

一列乘以一行结果是个矩阵。

所有的秩1矩阵都可以表示为一列乘以一行的形式。

[A=u.v^T ]

其中，(u、v) 表示列向量，(v) 转置表示行向量。

秩1矩阵有趣地方在于，她可以称为搭建其他矩阵的“积木”。

如果有一个 (5*17) 的矩阵，秩为4,可以把其分解为4个秩1矩阵的组合。

子空间

例1：

所有的秩4矩阵能构成一个子空间吗？

子空间需要满足加法和数乘封闭性。

性质：两个矩阵之和的秩不大于两个矩阵的秩之和。

所以两个秩4矩阵相加，结果可能是秩5矩阵。所以不是子空间。

例2：

假设在 (R^4) 空间中，$v=left(
egin{array}{c}
v_1
v_2
v_3
v_4
end{array}
ight) $ ,所有的分量满足(s=v_1+v_2+v_3+v_4=0) 。(s) 是一个子空间吗？是。

证明：

1. 任取某分量之和为零的向量，乘以6的新向量还是在 (s) 中；
2. 任取两个满足分量之和为零的向量相加，新向量还是在 (s) 中。

(s) 的维数和基是什么？

我们可以通过将目标矩阵转换为基本子空间，求四个基本子空间的维度和基的系统方法求出来。

观察 (s) 的特点，我们可以联系 (Ax=0) 。

即假设 (s) 是某个矩阵的零空间，即 (s=x),可以找出

[left( egin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \ end{array} ight) left( egin{array}{c} v_1 \ v_2 \ v_3 \ v_4 \ end{array} ight)=0 ]

因此 (s=N(A)),(A) 的秩为1，求零空间维数公式为

[dim[N(A)]=n-r ]

因此 (s)在3维空间里面.

自由变量为 (v_2,v_3,v_4),依次对她们任意赋值，求出主变量，可以求得三个线性无关向量，这三个线性无关向量就是 (s) 的一组基。

[Basisquad forquad s=left( egin{array}{c} -1 \ 1 \ 0 \ 0 \ end{array} ight),left( egin{array}{c} -1 \ 0 \ 1 \ 0 \ end{array} ight),left( egin{array}{c} -1 \ 0 \ 0 \ 1 \ end{array} ight) ]

小世界图

什么是"图"？图是结点和边的集合，边连接结点。

例如，5个点和6条边。

一个(5*6) 的矩阵可以表示这个图的全部信息。

有趣的问题是一个结点到任意一个结点共需要多少步？“六度分离猜想”解决了这个问题。下节课分解。