1 AVL树的定义
AVL树是一种自平衡二叉排序树。它的特点是不论什么一个节点的左子树高度和右子树的高度差在-1,0,1三者之间。
AVL树的不论什么一个子树都是AVL树。
2 AVL树的实现
AVL树本质是一种二叉排序树，所以二叉排序树的不论什么性质AVL树都具有。可是AVL树略微复杂的地方就是AVL树必须满足平衡条件。详细跟BST不同的地方主要体如今插入，删除操作。
插入操作：当插入之后可能会出现不平衡，所以这时候要通过旋转树来实现平衡。
旋转有四种类型，左左，左右，右左，右右。当中左左旋转和右右旋转是镜像的，左右旋转和右左旋转是镜像的，所以实质上就是两种类型的旋转。
针对左左旋转。仅仅须要旋转一次就可以，针对左右旋转，须要运行两次旋转。见下图：
这里採用递归法实现插入和删除操作。使用递归方便的一点是假设函数的參数是引用类型的，当传入一个p->left的时候。我们在当前函数的下层递归的时候，对p进行的赋值操作事实上就是对上层递归中的p->left进行的操作，所以这样就不须要传递父指针了。
3 实现代码
//AVLTree.h
#ifndef DDXX_AVLTREE_H
#define DDXX_AVLTREE_H
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
template<typename Type>
class AVLTree
{
struct Node
{
Type e;
Node* left;
Node* right;
int h;
Node(Type _e):e(_e),left(NULL),right(NULL),h(0){}
Node(Type _e,Node* _left,Node* _right,int _h):e(e),left(_left),right(_right),h(_h){}
};
public:
AVLTree();
AVLTree(Type arr[],int nLength);
/*AVLTree(const AVLTree& right);
AVLTree& operator=(const AVLTree& right);*/
~AVLTree();
public:
bool insert(Type e,Node* &p);
void erase(Type e,Node* &p);
Node*& find(Type e)const;
void traverse(Node* p)const;
void traverseByLevel(Node* p)const;
int getLength(){return mLength;}
Node*& getParent(Node* p);
Node*& getRoot(){return mRoot;} //notice the return type
bool empty(){return mRoot==NULL;};
void clear();
void clears(Node* &p);
private:
void rotateLeft(Node* &k2);
void rotateRight(Node* &k2);
void rotateLeftDouble(Node* &p);
void rotateRightDouble(Node* &p);
int height(Node* p)const{ return p == NULL ? -1 : p->h ;}
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
private:
Node* mRoot;
int mLength;
};
template<typename Type> AVLTree<Type>::AVLTree():mRoot(NULL),mLength(0)
{
}
template<typename Type> AVLTree<Type>::AVLTree(Type arr[],int nLength):mRoot(NULL),mLength(0)
{
for(int i=0;i<nLength;i++)
{
insert(arr[i],mRoot);
}
}
template<typename Type> AVLTree<Type>::~AVLTree()
{
clears(mRoot);
}
template<typename Type> bool AVLTree<Type>::insert(Type e,Node* &p)
{
if( p== NULL)
{
p = new Node(e);
mLength++;
}
else if(e < p->e)
{
insert(e,p->left);
if( height(p->left) - height(p->right) == 2)
{
if (e < p->left->e)
rotateLeft(p);
else
rotateLeftDouble(p);
}
}
else if(e > p->e)
{
insert(e,p->right);
if( height(p->left) - height(p->right) == -2)
{
if (e > p->right->e)
rotateRight(p);
else
rotateRightDouble(p);
}
}
else // e ia already exist
{
//return false;
}
p->h = max( height(p->left),height(p->right) )+1;
return true;
}
template<typename Type> void AVLTree<Type>::rotateLeft(Node*& k2)
{
Node* k1 = k2->left;
k2->left = k1->right;
k1->right = k2;
k1->h = max( height(k1->left),height(k1->right) ) + 1;
k2->h = max( height(k2->left),height(k2->right) ) + 1;
k2 = k1;// join the original node
}
template<typename Type> void AVLTree<Type>::rotateRight(Node* &k2)
{
Node* k1 = k2->right;
k2->right = k1->left;
k1->left = k2;
k1->h = max( height(k1->left),height(k1->right) ) + 1;
k2->h = max( height(k2->left),height(k2->right) ) + 1;
//k1=k2，由于在insert函数中传入的是p->left或者p->right的引用。所以这里能把根结点赋给其父结点的子节点
k2 = k1;
}
template<typename Type> void AVLTree<Type>::rotateLeftDouble(Node*& k3)
{
rotateRight(k3->left);
rotateLeft(k3);
}
template<typename Type> void AVLTree<Type>::rotateRightDouble(Node*& k3)
{
rotateLeft(k3->right);
rotateRight(k3);
}
template<typename Type> void AVLTree<Type>::traverse(Node* p)const
{
if( p == NULL)
return;
else
{
traverse(p->left);
cout<<"element:"<<p->e<<endl; //traverse by mid
traverse(p->right);
}
}
template<typename Type> void AVLTree<Type>::traverseByLevel(Node* root)const
{
if(root == NULL)
{
cout<<"The tree is empty"<<endl;
return;
}
queue<Node*> que;
que.push(root);
while( !que.empty() )
{
Node* ptr = que.front();
que.pop();
cout<<"element:"<<ptr->e<<" th:"<<height(ptr->left) - height(ptr->right)<<endl;
if(ptr->left != NULL)
que.push(ptr->left);
if(ptr->right != NULL)
que.push(ptr->right);
}
}
template<typename Type> typename AVLTree<Type>::Node* & AVLTree<Type>::getParent(Node* p)
{
if( p == m_root)
return NULL;
Node* ptr = m_root;
Node* ptf = ptr;
while( ptr != NULL )
{
if ( ptr->e == p->e )
return ptf;
if ( ptr->e > p->e )
{
ptf = ptr;
ptr = ptr->leftChild;
}
else
{
ptf = ptr;
ptr = ptr->rightChild;
}
}
}
template<typename Type> typename AVLTree<Type>::Node*& AVLTree<Type>::find(Type e)const
{
Node* ptr = m_root;
while(ptr != NULL)
{
if ( ptr->e == e )
return ptr;
if ( ptr->e > e )
ptr = ptr->leftChild;
else
ptr = ptr->rightChild;
}
//if ( ptr == NULL )
return NULL;
}
template<typename Type> void AVLTree<Type>::clears(Node*& p)
{
if( p == NULL )
return;
else
{
clears(p->left);
clears(p->right);
delete p;
p = NULL;
mLength--;
}
}
template<typename Type> void AVLTree<Type>::clear()
{
clears(mRoot);
}
template<typename Type> void AVLTree<Type>::erase(Type e,Node* &p)
{
if( p == NULL)
return;
if( e > p->e)
{
erase(e,p->right);
if( height(p->left) - height(p->right) == 2)
{
if( height(p->left->left) > height(p->left->right) )
rotateLeft(p);
else
rotateLeftDouble(p);
}
}
else if( e < p->e)
{
erase(e,p->left);
if( height(p->left) - height(p->right) == -2)
{
if( height(p->right->right) > height(p->right->left) )
rotateRight(p);
else
rotateRightDouble(p);
}
}
else if ( e == p->e && p->left!= NULL && p->right!= NULL)
{
Node* pmax = p->left;
while( pmax->right != NULL)
{
pmax = pmax->right;
}
p->e = pmax->e;
erase(p->e,p->left);
}
else //终于的删除会在这里运行
{
Node* pNew = p->left==NULL ? p->right : p->left;
delete p;
p = pNew;
mLength--;
}
if ( p!=NULL)
p->h = max( height(p->left),height(p->right)) + 1;
}
#endif//main.cpp
#include <iostream>
#include "AVLTree.h"
using namespace std;
void main()
{
int Arr[9] = {6,2,8,4,10,0,12,16,14};
AVLTree<int> Tr(Arr,9);
Tr.traverse(Tr.getRoot());
Tr.traverseByLevel(Tr.getRoot());
Tr.erase(14,Tr.getRoot());
Tr.traverse(Tr.getRoot());
Tr.traverseByLevel(Tr.getRoot());
cout<<"Tree's length is:"<<Tr.getLength()<<endl;
Tr.clear();
cout<<"Tree's length is:"<<Tr.getLength()<<endl;
}
4 測试结果
