洛谷4206/NOI2005T4 聪聪和可可 期望DP+记忆化搜索

题意：给出n个点m条边的无向图，两个主角聪聪和可可开始分别在S点和T点。聪聪想吃掉可可，每次由匆匆先行动后来可可行动。聪聪的行动是选他到可可的最短路上的点走最多两步（如果最短路有几条就选编号最小的走），可可的行动是等概率选择一个出点或者不动。问聪聪吃掉可可的期望行动次数。

解法：这道题还是蛮有意思的。

首先我们必须得先注意到聪聪得行动是“智能”的不随机，这样我们不能计算的时候再考虑，我们必须得先预处理nxt[x][y]代表若聪聪在x点可可在y点下一步聪聪会走那个点（根据定义就是x到y最短路的编号最小点）预处理这个我们可以做n次最短路，方法是：当在x点能更新到某个点y的最短路的时候，随便把这个nxt[st][y]与nxt[st][x]取一个最小值。

预处理之后我们就可以开始计算答案了。

因为在图上dp，没有比较显然的阶段所以我们使用记忆化搜素。dp[x][y]代表聪聪在x点，可可在y点的期望答案。分3种情况转移：

①x==y  ， dp[x][y]=0

②x能通过1/2步走到y，dp[x][y]=1

③否则  to=x向y走两步走到的点，dp[x][y]=(sigma(dp[to][z])+dp[to][y]) / (du[y]+1) + 1 ;   (z表示y出点，du[y]表示y出度)，应该比较好理解就是聪聪先走两部，然后可可随机走一步(或者停)的期望相加。

这里提一点，为什么在这个图上能走dp，dp状态之间不会有环吗？因为其实聪聪的行动是十分“智能”的，这就导致了dp状态之间其实不会有环，会有先后顺序。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t;
vector<int> G[N];
double dp[N][N]; 
bool vis[N][N];

int nxt[N][N];
queue<int> q;
int dis[N]; bool inq[N];
void spfa(int st) {
    for (int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF,inq[i]=0;
    dis[st]=0;
    for (int i=0;i<G[st].size();i++) {
        int y=G[st][i];
        dis[y]=1; q.push(y); inq[y]=1;
        nxt[st][y]=min(nxt[st][y],y);
    }
    while (!q.empty()) {
        int x=q.front(); q.pop();
        for (int i=0;i<G[x].size();i++) {
            int y=G[x][i];
            if (dis[y]>=dis[x]+1) {
                dis[y]=dis[x]+1;
                nxt[st][y]=min(nxt[st][y],nxt[st][x]);
                if (!inq[y]) q.push(y),inq[y]=1;
            }
        }
        inq[x]=0;
    } 
}

double dfs(int s,int t) {
    if (vis[s][t]) return dp[s][t];
    int to=nxt[nxt[s][t]][t];
    vis[s][t]=1;
    if (s==t) return dp[s][t]=0.0;
    if (to==t) return dp[s][t]=1.0;
    dp[s][t]+=dfs(to,t);
    for (int i=0;i<G[t].size();i++)
        dp[s][t]+=dfs(to,G[t][i]);
    dp[s][t]/=(double)(G[t].size()+1);
    dp[s][t]+=1.0;
    return dp[s][t];
}

int main()
{
    cin>>n>>m>>s>>t;
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
        G[x].push_back(y); 
        G[y].push_back(x);
    }
    
    memset(nxt,0x3f,sizeof(nxt));
    for (int i=1;i<=n;i++) nxt[i][i]=i;
    for (int i=1;i<=n;i++) spfa(i);
    
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    printf("%.3lf
",dfs(s,t));
    return 0;
}