BZOJ2440/洛谷P4318 [中山市选2011]完全平方数 莫比乌斯函数

题意：找到第k个无平方因子数。

解法：这道题非常巧妙的运用了莫比乌斯函数的性质！

解法参考https://www.cnblogs.com/enzymii/p/8421314.html这位大佬的。这里我说下自己的理解：

首先看到K这么大，想到可能要二分答案。那么我们二分答案M，问题就变成计算<=M的数有多少个无平方因子数。

我们考虑这样一个算法：枚举<=M的每一个无平方因子数，然后枚举它的倍数将其去掉。但是这个方法有一个问题就是会重复删除，例如一个数 2*3*5 ，他会被2/3/5分别删除一次，然后又会被2*3/2*5/3*5删除(等等)......处理这种重复问题我们一般会采用容斥原理。

于是我们想办法  -一个因子倍数+两个因子倍数-三个因子倍数.......   ； 想上诉的2*3*5， -（2/3/5）+（2*3/2*5/3*5）-（2*3*5）=  -1  。这样我们就解决了重复问题！！！

那么再仔细观察这个系数，奇数个质因子的无平方数系数是-1，偶数个质因子的无平方数的系数是1，这不就是莫比乌斯函数！！！

于是我们得到了式子：

 于是此题可解了：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+10;
const int Pr=1e5;
int K;

bool vis[N];
int tot=0,pri[N]; LL mu[N];
void prework() {
    vis[1]=1; mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=Pr;i++) {
        if (!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=Pr;j++) {
            int k=i*pri[j]; vis[k]=1;
            if (i%pri[j]==0) {
                mu[k]=0; break;
            }
            mu[k]=-mu[i];
        }
    }
}

bool check(LL M) {
    LL i=1,j,ret=0;
    for (int i=1;i*i<=M;i++) ret+=mu[i]*(M/(i*i));
    return ret>=K;
}

int main()
{
    prework();
    int T; cin>>T;
    while (T--) {
        scanf("%d",&K);
        LL L=1,R=2*K;
        while (L<R) {
            LL M=(L+R)/2;
            if (check(M)) R=M; else L=M+1; 
        } 
        printf("%lld
",R);
    }
    return 0;
}