利息基础理论

（2016-12-08 银河统计）

第一章 利息理论

教学重点：掌握利息的基础理论，年金现值、年金终值的定义及计算方法，永续年金、变额年金的现值和终值的计算；熟悉年金的定义及分类方法。

人寿保险是以人的身体和为保险标的的保险。人生的各个不同阶段一直都面临着生、老、病、死的风险，往往需要通过保险得到经济安全保障。为了在较长时期内平衡缴费水平，人寿保险通常为长期合同。因此，在寿险精算中，必须要考虑资金的投资收益，利息理论便成为寿险精算的基础。

第一节 利息基本理论

本节概要：利息计算公式和图表，名义利率和名义贴现率计算公式和图表。

利息是借入资金需要支付的使用代价，或者是出让资本使用权得到的报酬。

在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用的时间越长，实现的价值增值也就越大。资金所有者在放弃资金使用权得到报酬的同时，必须要考虑通货膨胀的影响。

一、利息与积累函数

1、利息

设年初以资本金(A(0))投资，(A(t))为第(t)年末的资金累积额（本利和），这里(A(t))称为总额函数。则第(t)期的利息(I_{t})为：$$I_{t}=A(t)-A(t-1) ag{1-1}$$

在利息的计算中，期初的资本金成为本金，利用本金的时间长度为投资期，相邻两次计息的时间间隔为计息期。计息期可以是年、季度、月或天。

【例1.1】某人投资本金10,000元，一年后增值为10,100元。试计算利息额。

解：已知，(A(0)=10000)，一年后即(t=1)，总额函数(A(1)=10100)。

则，年利息(I_{1}=A(1)-A(0)=10100-10000=100)（元）。

2、利息率

利息率指单位本金在一定时期（单位时间）内所产生的利息，它是衡量资金生息水平的指标。

用符号(i)表示利息率，第(t)个时期的利息率为：$$i_{t}=frac{A(t)-A(t-1)}{A(t-1)} ag{1-2}$$

【例1.2】由“例1.1”数据计算利息率。

解：$$i_1=frac{A(1)-A(0)}{A(0)}=frac{10100-10000}{10000}=1% ag{1-2}$$

3、积累函数

已知(A(t))是资本金(A(0))经过时间(t)后的价值，这里定义积累函数为：$$a(t)=frac{A(t)}{A(0)} ag{1-3}$$

(a(t))为单位资本金经过(t)时间后的积累额，(t)时间的总积累额为：$$A(t)=A(0) imes a(t) ag{1-4}$$

引入积累函数后，利息率又可表示为：$$i_{t}=frac{a(t)-a(t-1)}{a(t-1)} ag{1-5}$$

【例1.3】由例1.1数据，“某人投资本金10,000元，一年后增值为10,100元”，计算累积函数和利息率。

解：(a(1)=frac{A(1)}{A(0)}=frac{10100}{10000}=1.01)，(i_{1}=frac{a(t)-a(t-1)}{a(t-1)}=frac{1.01-1}{1}=1\%)

二、单利和复利

计算利息的方法有单利和复利两种，单利只在本金上计算利息，而复利则是采用“利滚利”计算利息。

1、单利

在单利条件下，设第(t)年利率为(i_{t})，则各年末累积额依次为，

第一年末累积额：(A(1)=A(0)+A(0) imes i_{1}=A(0)(1+i_{1}))

第二年末累积额：(A(2)=A(0)(1+i_{1})+A(0) imes i_{2}=A(0)(1+i_{1}+i_{2}))

... ... ...

第(t)年末累积额：$$A(t)=A(0)(1+i_{1}+i_{2}+ldots+i_{t}) ag{1-6}$$

当各年利率相等时，即(i=i_{1}=i_{2}=ldots=i_{t})时，

累积额为：$$A(t)=A(0)(1+t imes i) ag{1-7}$$

由公式（1-4）可知，单利条件下积累函数为：$$a(t)=(1+t imes i) ag{1-8}$$

此时，由于每年得到的利息额不变，在本金逐年增大后，年实际利率递减。由利率计算公式，

[i_{t}=frac{a(t)-a(t-1)}{a(t-1)}=frac{(1+t imes i)-[1+(t-1) imes i]}{[1+(t-1) imes i]}=frac{i}{1+(t-1) imes i} ]

可见，(i_{t})随(t)增大而减小。

单利实际利率递减表

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利息率   年限  生成列表

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实例代码：

var t = 10; //设置投资期限变量
var p = 0.05; //设置银行利率变量（5%）
var v = webActuary.getSJDL(t,p); //计算该时期实际利率
webTJ.display(v,0); //显示计算结果

注：本文为寿险精算课程设计了类函数库，可将实例代码复制粘贴到文字结尾“利息理论公式操作命令窗口”进行计算

【例1.4】某人2005年3月1日存入银行13600元，年利率为5%，3年后取出，计算本利和（单利）。

解：(A(3)=A(0)(1+3 imes 5\%)=13600(1+3 imes 0.05)=15640)（元）。

实例代码：

var m = 13600; //设置投资本金变量
var t = 3; //设置投资期限变量
var p = 0.05; //设置银行利率变量（5%）
var s = webActuary.getDL(m,t,p); //计算到期单利本利和
webTJ.display("到期本利和 = "+s+"(元)",0); //显示计算结果

注：可用鼠标选择实例代码，然后复制、粘贴到“代码窗口”文本框中并运行代码（Ctrl+C复制、Ctrl+V粘贴）。下同

当公式比较简单时，可直接运用JavaScript编写计算公式，如上例，

var m = 13600; //设置投资本金变量
var t = 3; //设置投资期限变量
var p = 0.05; //设置银行利率变量（5%）
var s = m*(1+t*p); //直接用JavaScript计算到期单利本利和
s = webTJ.getDecimal(s,2); //计算结果保留两位小数
webTJ.display("到期本利和 = "+s+"(元)",0); //显示计算结果

在【例1.4】中，当各个时期银河利率水平不相等时（(i_{1}=4\%, i_{2}=5\%, i_{3}=6\%)），精算类函数实例代码为，

var m = 13600; //设置投资本金变量
var prr = [0.04,0.05,0.06]; //设置不同时期银行利率数组变量
var s = webActuary.getDLs(m,prr); //计算到期单利本利和
webTJ.display("到期本利和 = "+s+"(元)",0); //显示计算结果

单利计算表

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本金   利息率   年限  生成列表

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2、复利

在复利条件下，设第t年利率为 ，则各年末累积额依次为，

第一年末累积额：(A(1)=A(0)+A(0) imes i_{1}=A(0)(1+i_{1}))

第二年末累积额：(A(2)=A(0)(1+i_{1})+A(0)(1+i_{1}) imes i_{2}=A(0)(1+i_{1})(1+i_{2}))

... ... ...

第(t)年末累积额：$$A(t)=A(0)(1+i_{1})(1+i_{2}) imes ldots imes (1+i_{t}) ag{1-9}$$

当各年利率相等时，即(i=i_{1}=i_{2}=ldots=i_{t})时，

累积额为：$$A(t)=A(0)(1+i)^t ag{1-10}$$

由公式（1-4）可知，复利条件下积累函数为：(a(t)=(1+i)^t ag{1-11})

此时，利息额增大，利息率不变，由利率计算公式，

[i_{t}=frac{a(t)-a(t-1)}{a(t-1)}=frac{(1+i)^t-(1+i)^{(t-1)}}{(1+i)^{(t-1)}}=i ]

【例1.5】某人2005年3月1日存入银行13600元，年利率为5%，3年后取出，计算本利和（复利）。

解：(A(t)=A(0)(1+5\%)^3=13600 imes (1+0.05)^3=15743.7)（元）。

实例代码：

var m = 13600; //设置投资本金变量
var t = 3; //设置投资期限变量
var p = 0.05; //设置银行利率变量（5%）
var s = webActuary.getFL(m,t,p); //计算到期复利本利和
webTJ.display("到期本利和 = "+s+"(元)",0); //显示计算结果

在【例1.5】中，当各个时期银行利率水平不相等时（(i_{1}=4\%, i_{2}=5\%, i_{3}=6\%)），精算类函数实例代码为，

var m = 13600; //设置投资本金变量
var prr = [0.04,0.05,0.06]; //设置不同时期银行利率数组变量
var s = webActuary.getFLs(m,prr); //计算到期复利本利和
webTJ.display("到期本利和 = "+s+"(元)",0); //显示计算结果

复利计算表

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本金   利息率   年限  生成列表

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三、贴现率

通常，利息支付的方式有两种：

一种是期末支付，它是本金的增加值。如，年初存入银行100元，一年后到期获得5元利息，它就是100元本金的增加值，且在年末支付。这种利息称为滞后利息或期末付利息；
另一种是期初支付，它是积累额的减少额，这种利息称为贴现。如，购买面额为100元的一年期国债，现时支付90元即可，则本期国债的利息为10元，它是在100元基础上的减少额，10元利息在购买时就已获得，10元称为贴现额。

贴现率用来衡量贴现水平，它是单位货币在一定时期内的贴现额。用符号(d)表示贴现率，第(t)个时期的贴现率为：(d_{t}=frac{A(t)-A(t-1)}{A(t-1)} ag{1-12})

用积累函数表示为：(d_{t}=frac{a(t)-a(t-1)}{a(t-1)} ag{1-13})

在复利条件下，如果利率不变，有：(d_{t}=frac{(1+i)^t-(1+i)^{(t-1)}}{(1+i)^{t}}=frac{i}{1+i})

上式表示常数贴现率与常数利息率的关系为：(d=frac{i}{1+i} ag{1-14})

在常数贴现率条件下，积累额为：(A(t)=A(0) imes (1-d)^t ag{1-15})

在常数利息率条件下，由式（1-10），(A(t)=A(0)(1+i)^t)，可知，以利率(i)积累的积累值与以贴现率(d)积累的积累值是等价的。

【例1.6】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率5%下1995年1月1日的现值及利息率。

解：1995年1月1日的现值为，(1000 imes (1-0.05)^3=857.375)（元）

年利息率为，(i=frac{d}{1-d}=frac{0.05}{1-0.05}=0.0526)

计算现值实例代码：

var m = 1000; //投资本金
var t = 3; //投资期限
var d = 0.05; //银行利率（5%）
var v = webActuary.getTX(m,t,d); //计算复利贴现额
webTJ.display(v,0); //显示计算结果

计算利息率实例代码：

var i1 = webActuary.getIfromD(0.05); //用贴现率计算利息率
webTJ.display(i1,0);
var i2 = webTJ.getDecimal(d/(1-d),4); //直接用JS计算，并保留小数4位
webTJ.display(i2,0);

在【例1.6】中，如果各个时期银行贴现率水平不相等时（(d_{1}=4\%, d_{2}=5\%, d_{3}=6\%)），精算类函数实例代码为，

计算现值实例代码：

var m = 1000; //投资本金
var drr = [0.04,0.05,0.06]; //不同时期银行贴现率数组变量
var v = webActuary.getTXs(m,drr); //计算复利贴现额
webTJ.display(v,0); //显示计算结果

贴现计算表

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本金   贴现率   年限  生成列表

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四、名义利率和名义贴现率

利息可以按年结算，也可按半年、季或月结算。在单利情况下，计息单位不影响利息额；在复利条件下，即使年利率不变，但由于结算的时间单位不同，使实际利息值也不同。如本金1元、年利率10%，按年结算到期利息为0.1元。但如果半年结算一次（一年结算两次），此时半年的实际利率为5%，年利息额为(1 imes (1+frac{10\%}{2})^2-1=0.1025)元，实际利率为10.25%。这样，由于复利计算期和年利率基本时间单位不一致，出现了利息率名不副实的现象。

1、名义利率

这里，我们把原来规定可以多次用来结算的利率称为名义利率，符号表示为(i^{(m)})，(m)为为结算次数，每次结算的实际利率为(frac{i^{(m)}}{m})，则有，(1+i=(1+frac{i^{(m)}}{m})^m)

解得，

[i=(1+frac{i^{(m)}}{m})^m-1 ag{1-16} ]

[i^{(m)}=m imes [(1+i)^{frac{1}{m}}-1] ag{1-17} ]

一年不同结算次数名义利率计算表

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利息率   最大结算次数  生成列表

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2、名义贴现率

名义贴现率符号表示为(d^{(m)})，(m)为结算次数，每次结算的实际贴现率为(frac{d^{^{(m)}}}{m})，则有，

[1-d=(1-frac{d^{^{(m)}}}{m})^{^m} ]

解得，

[d=1-(1-frac{d^{^{(m)}}}{m})^{^m} ag{1-18} ]

[d^m=m imes [1-(1-d)^{^frac{1}{m}}]=m imes [1-(1+i)^-{^frac{1}{m}}] ag{1-19} ]

一年不同结算次数名义贴现率计算表

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贴现率   最大结算次数  生成列表

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3、名义利率和名义贴现率的关系

由（1-14）贴现率与利息率关系式，(d=frac{i}{1+i})得，(1-d=frac{1}{1+i})，由式（1-16）、（1-18）得：

[(1-frac{d^{^{(m)}}}{m})^{^m}=1-d=frac{1}{1+i}=(1+frac{i^{(m)}}{m})^{-m} ]

整理得，

[frac{i^{^{(m)}}}{m}-frac{d^{^{(m)}}}{m}=frac{i^{^{(m)}}}{m} imes frac{d^{^{(m)}}}{m} ag{1-20} ]

转换为，

[d^{^{(m)}}=frac{m imes i^{^{(m)}}}{m+i^{^{(m)}}} ag{1-21} ]

或，

[i^{^{(m)}}=frac{m imes d^{^{(m)}}}{m-d^{^{(m)}}} ag{1-22} ]

一般地，如果一年支付m次利息的名义利率为(i^{^{(m)}})，一年支付n次贴现的名义贴现率为d^{{(n)}}，年初的本金为1，则年末的累积额有，

[(1+frac{i^{(m)}}{m})^{-m}=(1-frac{d^{^{(n)}}}{n})^{^n} ag{1-23} ]

转换为，

[i^{^{(m)}}=m imes [(1-frac{d^{^{(n)}}}{n})^{^{-frac{n}{m}}}-1] ag{1-24} ]

或，

[d^{^{(n)}}=n imes [1-(1+frac{i^{^{(m)}}}{m})^{^{-frac{m}{n}}}] ag{1-25} ]

【例1.7】某人以每年3.6%的利率从银行贷款1000元，在复利条件下按月结算，3年后欠银行多少钱？

解：按月结算时，年利率3.6%，月利率为0.3%。3年36个月的欠款额为：

[1000 imes (1+0.003)^{36}=1113.87(元) ]

如果按年利息率计算，3年的欠款额为，

[1000 imes (1+0.036)^3=1111.93(元) ]

名义利率，

[i^{(12)}=12 imes [(1+0.036)^{^{frac{1}{12}}}-1]=0.035419313 ]

名义利率计算的3年36个月欠款额为，

[1000 imes (1+frac{0.035419313}{12})^{36}=1111.93(元) ]

实例代码（例1.7）：

webTJ.clear();//清空输出
var s = 1000;//本金
var j = 0.003;//月利息率
var i = 0.036;//年利息率
var m = 12;//月份数
var v = s*Math.pow((1+j),36);//按月利息率计算3年36个月欠款额
v = webTJ.getDecimal(v,4);//计算结果保留小数点4位
webTJ.display("按月利息率计算欠款额："+v,0);//输出计算结果
var v1 = s*Math.pow((1+i),3);//按年利息率计算3年的欠款额
v1 = webTJ.getDecimal(v1,4);
webTJ.display("按年利息率计算欠款额："+v1,0);
var i1 = m*(Math.pow(1+i,1/m)-1)//计算名义利率
webTJ.display("名义利率："+i1,0);
var v2 = s*Math.pow((1+i1/m),36);//按名义利率计算3年36个月欠款额
v2 = webTJ.getDecimal(v2,4);
webTJ.display("按名义利率计算欠款额："+v2,0);

注：((1+0.003)^{36})=Math.pow((1+0.003),36)

【例1.8】I、求每月结算的年利率为12%的实际利率；II、求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率；II、求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。

解：

I、 实际利率为：

[i=(1+frac{i^{(m)}}{m})^m-1=(1+frac{0.12}{12})^{12}-1=12.68\% ]

II、 实际贴现率为：

[d=1-(1-frac{d^{(m)}}{m})^m=1-(1-frac{0.1}{4})^4=9.63\% ]

III、由式(1-25),

[d^{^{(2)}}=2 imes [1-(1+frac{0.12}{12})^{^{-frac{12}{2}}}]=11.59\% ]

实例代码（例1.8）：

webTJ.clear();//清空输出
var i = 0.12;//年利息率
var m = 12;//年月份数
var s = 4;//年季度数
var v = Math.pow((1+i/12),m)-1;//求每月结算的年利率为12%的实际利率
v = webTJ.getDecimal(v,4);
webTJ.display("按月结算的年利率为12%的实际利率："+v,0);
var d=0.1;//年贴现率
var v1 = 1-Math.pow((1-d/s),s);//求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率
v1 = webTJ.getDecimal(v1,4);
webTJ.display("按季结算的年贴现率为10%的实际贴现率："+v1,0);
var v2 = 2*(1-Math.pow((1+i/m),-m/2));//求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率
v2 = webTJ.getDecimal(v2,4);
webTJ.display("按相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率："+v2,0);

4．利息力

利息率和贴现率表示资金在一定时间内的获利能力，如果一年支付(m)次利息或(m)次贴现时(m ightarrowinfty)，则反映资金的瞬时获利能力。我们称这种瞬时获利能力为利息力，符号表示为(delta)。

由（1-17）得，

[delta=limlimits_{m ightarrowinfty}i^{(m)}=limlimits_{m ightarrowinfty}frac{(1+i)^{frac{1}{m}}-1}{frac{1}{m}}=limlimits_{m ightarrowinfty}frac{[(1+i)^{frac{1}{m}}-1]^{'}}{(frac{1}{m})^{'}}=ln(1+i) ]

即，(delta=ln(1+i))或(e^delta=1+i)

由（1-19）得,

[egin{eqnarray*} delta&=&limlimits_{m ightarrowinfty}d^{(m)}=limlimits_{m ightarrowinfty}frac{1-(1-d)^{frac{1}{m}}}{frac{1}{m}}=limlimits_{m ightarrowinfty}frac{[1-(1-d)^{frac{1}{m}}]^{'}}{(frac{1}{m})^{'}}\&=&limlimits_{m ightarrowinfty}frac{-(1-d)^{^{frac{1}{m}}} imes {(-frac{1}{m})^{^2}} imes ln(1-d)}{(-frac{1}{m})^{^2}}=limlimits_{m ightarrowinfty}frac{[1-(1-d)^{frac{1}{m}}]^{'}} imes ln(-d)\&=&-ln(1-d)=-ln(frac{1}{1+i})=ln(1+i) end{eqnarray*}]

由此可知，当支付次数无限大时，利息率和贴现率趋向利息力，即，

[delta=limlimits_{m ightarrowinfty}i^{(m)}=delta=limlimits_{m ightarrowinfty}d^{(m)}=ln(1+i) ag{1-26} ]

【例1.9】某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，在复利下求以下问题：

I、贷款额在2003年7月22日的价值；

II、年利率；

III、名义利率(每月支付一次)。

解：

I、2003年7月22日贷款额：(4000 imes (1+i)^5=4000 imes e^{0.14 imes 5}=8055.01(元))

II、年利率：(i=e^{delta}-1=e^{0.14}-1=15.0274\%)

III、名义利率：((1+frac{i^{(m)}}{m})^m=1+i=e^{delta}Longleftrightarrow i^{(m)}=m imes (e^{^{frac{delta}{m}}}-1)Longleftrightarrow i^{12}=12 imes (e^{^{frac{0.14}{12}}}-1)=14.082\%)

实例代码（例1.9）：

webTJ.clear();
var a = 0.14;//利息力
var m = 4000;//贷款
var v = m*Math.pow(Math.E,0.14*5);//计算贷款额在2003年7月22日的价值
v = webTJ.getDecimal(v,4);
webTJ.display("贷款额在2003年7月22日的价值："+v,0);
var v1 = Math.pow(Math.E,a)-1;//计算年利率
v1 = webTJ.getDecimal(v1,4);
webTJ.display("年利率："+v1,0);
var v2 = 12*(Math.pow(Math.E,a/12)-1);//计算名义利率
v2 = webTJ.getDecimal(v2,4);
webTJ.display("名义利率："+v2,0);

五、利息理论类函数索引

单利函数（各期利率不相等），

函数：webActuary.getDLs(m,prr)
公式：(1-6)
参数：m - 本金；prr - 各期银行利率数组

单利函数（各期利率相等），

函数：webActuary.getDL(m,t,p)
公式：(1-7)
参数：m - 本金；t - 投资期限；p - 银行利率

复利函数（各期利率不相等），

函数：webActuary.FLs(m,prr)
公式：(1-9)
参数：m - 本金；prr - 各期银行利率数组

复利函数（各期利率相等），

函数：webActuary.getFL(m,t,p)
公式：(1-10)
参数：m - 本金；t - 投资期限；p - 银行利率

复贴现函数，

函数：webActuary.getTX(m,t,d)
公式：(1-15)
参数：m - 本金；t - 投资期限；d - 银行贴现率

由贴现率计算利率（各期贴现率相等），

函数：webActuary.getIfromD(d)
参数：d - 贴现率

由利率计算贴现率（各期利率相等），

函数：webActuary.getDfromI(i)
公式：(1-14)
参数：i - 利率

由名义利率计算利率，

函数：webActuary.getIfromIm(im,m)
公式：(1-16)
参数：im - 名义利率、m - 结算次数

由利率计算名义利率，

函数：webActuary.getImfromI(i,m)
公式：(1-17)
参数：i - 利率、m - 结算次数

由名义贴现率计算贴现率，

函数：webActuary.getDfromDm(dm,m)
公式：(1-18)
参数：dm - 名义利率、m - 结算次数

由贴现率计算名义贴现率，

函数：webActuary.getDmfromD(d,m)
公式：(1-19)
参数：d - 贴现率、m - 结算次数

由利息率计算利息力，

函数：webActuary.getIwfromI(i)
公式：(1-26)
参数：i - 利息率

实例代码：

webTJ.clear();
webTJ.display("由贴现率计算利率："+webActuary.getIfromD(0.05),0);
webTJ.display("由利率计算贴现率："+webActuary.getDfromI(0.05),0);
webTJ.display("由名义利率计算利率："+webActuary.getIfromIm(0.05,12),0);
webTJ.display("由利率计算名义利率："+webActuary.getImfromI(0.05,12),0);
webTJ.display("由名义贴现率计算贴现率："+webActuary.getDfromDm(0.05,12),0);
webTJ.display("由贴现率计算名义贴现率："+webActuary.getDmfromD(0.05,12),0);
webTJ.display("由利息率计算利息力："+webActuary.getIwfromI(0.05),0);

六、利息理论公式操作命令窗口

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代码窗口

运行代码

代码运行效果

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七、练习题

1、名词解释：

利息、利息率、贴现率、名义利率、名义贴现率、利息力

2、简答题

(1) 举例说明什么是利息和利息率。
(2) 举例说明什么是贴现率。
(3) 名义利率和利率的关系
(4) 名义贴现率和贴现率的关系

3、计算题（可分别使用计算器、EXCEL和网页实例代码计算）

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)

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