确定型年金

（2016-12-21银河统计）

第一章 利息理论

教学重点：掌握利息的基础理论，年金现值、年金终值的定义及计算方法，永续年金、变额年金的现值和终值的计算；熟悉年金的定义及分类方法。

人寿保险是以人的身体和为保险标的的保险。人生的各个不同阶段一直都面临着生、老、病、死的风险，往往需要通过保险得到经济安全保障。为了在较长时期内平衡缴费水平，人寿保险通常为长期合同。因此，在寿险精算中，必须要考虑资金的投资收益，利息理论便成为寿险精算的基础。

第二节、年金分析

本节概要：年金现值、终值的定义及计算方法，以及各种年金现值和终值在线计算表

年金是收付款的一种方式，它是指在一个相等的时间间隔进行的一系列固定数额收付款方式。如向银行一次性贷款后在今后的若干年内等额还款，以分期付款方式购买大宗商品等。

一、终值和现值

货币是有时间价值的，在不同时期，相同货币额的价值是不同的。为了体现货币的时间价值，这里引入终值和现值的概念。终值是现在时期货币值在未来时期的价值，现值是未来时期货币值在现在时期的价值。

由（1-11）和（1-15）可知，1单位货币在t年的终值为：(a(t)=(1+i)^t)；未来(t)年1单位货币的现值为：

[v(t)=frac{1}{(1+i)^{^t}} ag{1-27} ]

令，

[v=frac{1}{1+i} ag{1-27a} ]

则，

[v(t)=v^t ag{1-28} ]

我们称(v)为折现因子（或贴现因子），(v^t)称为折现函数（或贴现函数）。由（1-14），(d=frac{i}{1+i})可知贴现率与折现因子的关系是：

[v=1-d ag{1-29} ]

二、基本年金的现值和终值

1、定额年金的现值和终值

I、期初付(n)年定额年金的现值和终值

设每年年初定期付给1元，给付时间为n年，用(ddot{a}_{_n})表示该年金的现值，(ddot{s}_{_n})表示该年金的终值，则期初付(n)年定期年金的现值为：

[ddot{a}_{_n}=1+v+v^{^2}+dots+v^{^{n-1}}=frac{1-v^{^n}}{1-v}=frac{1-v^{^n}}{d} ag{1-30} ]

期初付(n)年定期年金的终值为：

[ddot{s}_{_n}=(1+i)+(1+i)^{^2}+dots+(1+i)^{^n}=frac{(1+i)^{^n}-1}{d} ag{1-31} ]

由式（1-27）可得期初付年金的现值和终值的关系为：

[ddot{s}_{_n}=ddot{a}_{_n} imes(1+i)^{^n} ag{1-32} ]

通常，(ddot{a}_{_n})、(ddot{s}_{_n})符号不必标出计算所依据的利率，但在有些时候为避免引起混乱，可写成(ddot{a}_{_{n|i}})、(ddot{s}_{_{n|i}})的形式。

【例1.10】某人从银行贷款20万元用于购买住房，贷款年利率为5%，还款期为30年。如果从第一年开始每年等额还款，求每年还款数额。

解：设每年还款数额为(X)，由于贷款额和还款数额在零时刻的现值是相等的，即，

[200000=X imesddot{a}_{_{30}}Leftrightarrow X=frac{200000}{ddot{a}_{_{30}}}=frac{200000}{16.14107358}=12390.75(元) ]

其中，

[ddot{a}_{_{30}}=1+v+v^{^2}+dots+v^{^{29}}=frac{1-v^{^{30}}}{1-v}=[1-frac{1}{(1+i)^{^{30}}}]div{(1-frac{1}{1+i})}=16.14107358 ]

实例代码（例1.10）：

webTJ.clear();//清空输出
var m = 200000;//银行贷款额
var i = 0.05;//年利息率
var t = 30;//还款期
var a = webActuary.getIFA(t,i,0);//单位元期初年金现值
webTJ.display("期初年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年还款数额
webTJ.display("每年还款数额："+v+"元",0);

【例1.11】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，年利率为6%。如果第一次领取年金从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。

解：设每年领取数额为(X)，由于购买额和领取数额在零时刻的现值相等，即，

[2000=X imesddot{a}_{_{15}}Leftrightarrow X=frac{2000}{ddot{a}_{_{15}}}=194.27(元) ]

实例代码（例1.11）：

webTJ.clear();//清空输出
var m = 2000;//投资额
var i = 0.06;//年利息率
var t = 15;//投资期
var a = webActuary.getIFA(t,i,0);//单位元期初年金现值
webTJ.display("期初年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年还款数额
webTJ.display("每年领取数额："+v+"元",0);

II、期末付(n)年定额年金的现值和终值

设每年年末定期付给1元，给付时间为(n)年，用(a_n)表示该年金的现值，(s_n)表示该年金的终值。则，期末付(n)年定期年金的现值为：

[a_n=v+v^2+dots+v^n=frac{1-v^{^n}}{i} ag{1-33} ]

期末付(n)年定期年金的终值为：

[s_n=1+(1+i)+(1+i)^2+dots+(1+i)^{n-1}=frac{(1+i)^{^n}-1}{i} ag{1-34} ]

期末付年金的现值和终值的关系为：

[s_n=a_n imes(1+i)^n ag{1-35} ]

期初付年金现值与期末付年金现值的关系为：

[ddot{a}_n=(1+i) imes a_n ag{1-36} ]

期初付年金终值与期末付年金终值的关系为：

[ddot{s}_n=(1+i) imes s_n ag{1-37} ]

【例1.12】某人从银行贷款20万元用于购买住房，贷款年利率为5%，还款期为30年。如果从第二年开始每年等额还款，求每年还款数额。
解：设每年还款数额为(X)，由于贷款额和还款数额在零时刻的现值是相等的，即，

[200000=X imes a_{_{30}}Leftrightarrow X=frac{200000}{a_{_{30}}}=frac{200000}{15.372451}=13010.29(元) ]

实例代码（例1.12）：

webTJ.clear();//清空输出
var m = 200000;//银行贷款额
var i = 0.05;//年利息率
var t = 30;//还款期
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
webTJ.display("期末年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年还款数额
webTJ.display("每年还款数额："+v+"元",0);

【例1.13】计算年利率为6%条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及累积值（终值）。

解：

现值（开始时价值）=(1000 imes a_{_{10|0.05}}=1000 imes 7.360087approx7360.09(元))

终值（结束时价值）=(1000 imes s_{_{10|0.05}}=1000 imes 13.180795approx13180.80(元))

实例代码（例1.13）：

webTJ.clear();
var m = 1000;//每年年末投资额
var i = 0.06;//年利息率
var t = 10;//投资期
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
webTJ.display("期末年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m*a,2);//现值（开始时价值）
webTJ.display("现值（开始时价值）："+v+"元",0);
var a1 = webActuary.getIFS(t,i,1);//单位元期末年金终值
webTJ.display("期末年金终值："+a1+"元",0);
var v1 = webTJ.getDecimal(m*a1,2);//终值（结束时价值）
webTJ.display("终值（结束时价值）："+v1+"元",0);

【例1.14】通过零存整取方式在一年后获得10000元，月复利为0.5%。每月存款多少？

解：设每月存款为(D)，则，

[D imes s_{_{12|0.005}}=10000Leftrightarrow D=frac{10000}{12.335562}approx810.66(元) ]

实例代码（例1.14）：

webTJ.clear();
var m = 10000;//零存整取本利和
var i = 0.005;//月利息率
var t = 12;//投资期（月）
var s = webActuary.getIFS(t,i,1);//单位元期末年金终值
webTJ.display("期末年金现值："+s+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/s,2);//每月存款数额
webTJ.display("每月存款数额："+v+"元",0);

【例1.15】在银行存入20000元，计划4年支取完，每半年支取一次，年利率为7%。计算每次支取额度。

解：设每次支取额度(R)，则，

[R imes a_{_{8|0.035}}=20000Leftrightarrow R=frac{20000}{a_{_{8|0.0035}}}=2909.53(元) ]

实例代码（例1.15）：

webTJ.clear();
var m = 20000;//零银行存款额
var i = 0.035;//半年利息率
var t = 8;//投资期（半年）
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
webTJ.display("期末年金现值："+a+"元",0);
var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每次支取额
webTJ.display("每次支取额："+v+"元",0);

【例1.16】已知年利率为8%，向银行贷款10000元，期限为5年，计算下面三种还款方式中利息额度。

a. 第五年一次还清；
b. 每年年末支付贷款利息，第五年年末归还本金；
c. 贷款每年均衡偿还（即采用年金方式）。

解：

a. 本利和 = (10000 imes(1+0.08)^5=14693.28(元))，其中利息额为4693.28元。

b. 每年年末支付利息800元，5年共支付4000元。

c. 设每年偿还R元，(R=frac{10000}{a_{_{5|0.08}}}=2504.56(元))，5年共还款(2504.56 imes5=12522.80(元))，其中利息额为2522.80元。

实例代码（例1.16）：

webTJ.clear();
var m = 10000;//银行贷款
var i = 0.08;//年利息率
var t = 5;//投资期（半年）
var v = webActuary.getFL(m,t,i);//5年本利和
webTJ.display("5年本利和："+v+"元，其中利息额为："+(v-m)+"元",0);
webTJ.display("每年年末支付利息800元，5年共支付4000元",0);
var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
var v1 = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年偿还额    
webTJ.display("每年偿还额："+v1+"元"+"5年共还款额："+v1*t+"元"+"其中利息额为："+webTJ.getDecimal((v1*t-m),2)+"元",0);

2、延期付定额年金的现值和终值

I、期初付延期m年的n年定额年金的现值和终值

设每年年初定期付给1元，于(m)年年初开始给付，共付(n)年，用(_{_m}ddot{a}_{_n})表示该年金的现值，(_{_m}ddot{s}_{_n})表示该年金的终值，则：

[_{_m}ddot{a}_{_n}=v^m+v^{m+1}+dots+v^{m+n-1}=v^m imesddot{a}_{_n}=ddot{a}_{_{n+m}}-ddot{a}_{_m} ag{1-38} ]

公式(1-38)中，令，

[egin{eqnarray*} _{_m}ddot{a}_{_n}&=&v^m+v^{m+1}+dots+v^{m+n-1}+ddot{a}_{_m}-ddot{a}_{_m}\&=&(1+v+v^{^2}+dots+v^{^{m-1}})+(v^m+v^{m+1}+dots+v^{m+n-1})-ddot{a}_{_m}\&=&ddot{a}_{_{n+m}}-ddot{a}_{_m}qquad(证毕) end{eqnarray*}]

[_{_m}ddot{s}_{_n}=ddot{s}_{_n}=frac{(1+i)^{^n}-1}{d} ag{1-38a} ]

II、期末付延期m年的n年定额年金的现值和终值

设每年年末定期付给1元，于(m)年年末开始给付，共付(n)年，用(_{_m}a_{_n})表示该年金的现值，(_{_m}s_{_n})表示该年金的终值，则：

[_{_m}a_{_n}=v^{^m} imes a_{_n}=a_{_{m+n}}-a_{_m} ag{1-39} ]

[_{_m}s_{_n}=frac{(1+i)^{^n}-1}{i} ag{1-39a} ]

【例1.17】某人贷款50000元购买汽车，从贷款后第九个月开始用5年的时间每月还款，年利为6%，求每月还款额。

解：月利率为，((1+j)^{12}=1.06Leftrightarrow j=0.004868)，再设每月还款额为(X)，银行收付款一般为期末支付，第九个月开始还款意味延期8个月。则有，

(_{_8}{a}_{_{50}} imes X=42.5975 imes X=50000)，解得，(X=1173.78(元))

实例代码（例1.17）：

webTJ.clear();
var s = 50000;//银行贷款
var i = 0.06;//年利息率
var t = 50;//投资期（月）
var m = 8;//延期（月）
var j = Math.pow(1.06,1/12)-1;//月利息率
webTJ.display("月利息率："+j,0);
var a = webActuary.getMIFA(t,j,m,1);//单位元期末延期年金现值
var v = webTJ.getDecimal(s/a,2);//每月还款额    
webTJ.display("每月还款额："+v+"元",0);

III、任意时刻年金值经验公式

a. 将现值向前折现m年

[v^{^m} imesddot{a}_{_n}=ddot{a}_{_{m+n}}-ddot{a}_{_m} ag{1-40aa} ]

[v^{^m} imes a_{_n}=a_{_{m+n}}-a_{_m} ag{1-40ab} ]

b. 将现值向后积累m年

[ddot{a}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=v^{^{m-n}} imesddot{s}_{_n}=ddot{s}_{_m}+ddot{a}_{_{m+n}} ag{1-40ba} ]

[{a}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=v^{^{m-n}} imes{s}_{_n}=ddot{s}_{_m}+{a}_{_{m+n}} ag{1-40bb} ]

证明：

[ddot{a}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=frac{1-v^{^n}}{d} imes{(1+i)}^{^m}=frac{{(1+i)}^{^m}-v^{^{n-m}}}{d}=frac{{(1+i)}^{^n}-1}{{(1+i)}^{^{n-m}} imes{d}}=v^{^{n-m}} imesddot{s}_{_n} ]

又，

[ddot{a}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=frac{{(1+i)}^{^m}-v^{^{n-m}}}{d}=frac{{(1+i)}^{^m}-1+1-v^{^{n-m}}}{d}=ddot{s}_{_m}+ddot{a}_{_{n-m}}qquad(证毕) ]

c. 将终值向前折现m年

[v^{^m} imesddot{s}_{_n}=ddot{s}_{_{n-m}}+ddot{a}_{_m} ag{1-40ca} ]

[v^{^m} imes{s}_{_n}={s}_{_{n-m}}+{a}_{_m} ag{1-40cb} ]

d. 将终值向前折现m年

[ddot{s}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=ddot{s}_{_{n+m}}-ddot{s}_{_n} ag{1-40da} ]

[{s}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}={s}_{_{n+m}}-{s}_{_n} ag{1-40db} ]

3、递增型n年期年金的现值和终值

I、期初付递增型n年期年金的现值和终值

设第一年年初付给1元，以后每年年初增加1元，共付(n)年，用((Iddot{a})_{_n})表示该年金的现值，((Iddot{s})_{_n})表示该年金的终值，则：

[(Iddot{a})_{_n}=1+2v+3v^2+dots+nv^{n-1}=frac{ddot{a}_{_n}-nv^n}{d} ag{1-41} ]

[(Iddot{s})_{_n}=(Iddot{a})_{_n} imes(1+i)^n=frac{ddot{s}_{_n}-n}{d} ag{1-42} ]

II、期末付递增型n年期年金的现值和终值

设第一年年末付给1元，以后每年年末增加1元，共付(n)年，用((Ia)_{_n})表示该年金的现值，((Is)_{_n})表示该年金的终值，则：

[(Ia)_{_n}=v+2v^2+3v^3+dots+nv^n=frac{ddot{a}_{_n}-nv^n}{i} ag{1-43} ]

[(Is)_{_n}=(Ia)_{_n} imes(1+i)^n=frac{ddot{s}_{_n}-n}{i} ag{1-44} ]

【例1.18】某年金第一年末收付1000元，以后每隔一年收付额比前一年增加100元，共收付10年、年利为5%，求第10年年末的终值。

解：这一变额年金可以分解为每年900元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金之和。即，

[900s_{_{10}}+100(Is)_{_{10}}=900 imes12.5779+100 imes64.13574=17733.6776(元) ]

实例代码（例1.18）：

webTJ.clear();
var m1 = 900;
var m2 = 100;
var i = 0.05;
var t = 10;
var s = webActuary.getIFS(t,i,1);
webTJ.display("单位元期末定额年金终值："+s,0);
var Is = webActuary.getIIFS(t,i,1);
webTJ.display("单位元期末等差递增年金终值："+Is,0);
var v = m1*s+m2*Is;
webTJ.display("终值："+v,0);

4、递减型n年期年金的现值和终值

I、期初付递减型n年期年金的现值和终值

设第一年年初付给(n)元，以后每年减少1元，共付(n)年，用((Dddot{a})_{_n})表示该年金的现值，((Dddot{s})_{_n})表示该年金的终值，则：

[(Dddot{a})_{_n}=n+(n-1)v+(n-2)v^2+dots+v^{n-1}=frac{n-a_{_n}}{d} ag{1-45} ]

[(Dddot{s})_{_n}=(Dddot{a})_{_n} imes(1+i)^n=frac{n(1+i)^n-s_{_n}}{d} ag{1-46} ]

II、期末付递减型n年期年金的现值和终值

设第一年年末付给(n)元，以后每年递减1元，共付(n)年，用((Da)_{_n})表示该年金的现值，((Ds)_{_n})表示该年金的终值，则：

[(Da)_{_n}=nv+(n-1)v^2+(n-2)v^3+dots+v^n=frac{n-a_{_n}}{i} ag{1-47} ]

[(Ds)_{_n}=(Da)_{_n} imes(1+i)^n=frac{n(1+i)^n-s_{_n}}{i} ag{1-48} ]

【例1.19】某人从银行贷款50万元购买住房，年利为5%，贷款期限20年。

a、采用期末递减还款方式，求第一年末还款额和每年递减额；
b、第一个月及每月递减额；
c、该人预计5年内每年还款10万元，然后采用递减还款方式，求第六年末还款额和以后每年递减额。

解：
a、每年递减额为(X)，(X imes(Da)_{_{20|0.05}}=150.7558 imes{X}=500000)，解得，(X=3316.62(元))；
    第一年末还款额为(3316.62 imes20=66332.4(元))；
    还款总额为((20+19+dots+1) imes3316.62=696490.2(元))。

b、月利率为((1+j)^{12}=1.05Leftrightarrow j=0.004074124)，每月递减额为(X)，则有：
    (X imes(Da)_{_{240|0.004074124}}=500000)，解得，(X=23.4(元))；
    第一月末还款额为(23.4 imes240=5616(元))；
    还款总额为((240+239+dots+1) imes23.4=676728(元))。

c、设第六年开始每年递减额为(X)。该问题可分解为5年等额年金和15年延期递减年金之和。即，
    (100000 imes a_{_{5|0.05}}+X imes V^5 imes(Da)_{_{15|0.05}}=500000)，解得，(X=926.1(元))；
    第六年末还款额为(926.1 imes15=13891.5(元))；
    还款总额为(5 imes100000+(15+14+dots+1) imes926.1=611132(元))。

实例代码（例1.19）：

webTJ.clear();
var m = 500000;
var i = 0.05;
var t = 20;
var Ds = webActuary.getDIFA(t,i,1);
webTJ.display("问题a、单位元期末等差递减年金终值："+Ds,0);
var X = m/Ds;
webTJ.display("问题a、每年递减额："+X,0);
var M = t*X;
webTJ.display("问题a、第一年末还款额："+M,0);
var S = (t*(t+1)/2)*X;
webTJ.display("问题a、还款总额："+S,0);
var j = Math.pow(1+i,1/12)-1;
webTJ.display("问题b、月利率："+j,0);
var t1 = 240;
Ds = webActuary.getDIFA(t1,j,1);
webTJ.display("问题b、单位元期末等差递减年金终值："+Ds,0);
X = m/Ds;
webTJ.display("问题b、每月递减额："+X,0);
M = t1*X;
webTJ.display("问题b、第一月末还款额："+M,0);
S = (t1*(t1+1)/2)*X;
webTJ.display("问题b、还款总额："+S,0);
var R = 100000;
var t2 = 5;
var t3 = 15; 
var v=1/(1+i); 
var V = Math.pow(v,t2);  
var a = webActuary.getIFA(t2,i,1);
Ds = webActuary.getDIFA(t3,i,1);
X = (m-R*a)/(V*Ds);
webTJ.display("问题c、第六年开始每年递减额："+X,0);
M = t2*X;
webTJ.display("问题c、第六年末还款额："+M,0);
S = R*t2+(t3*(t3+1)/2)*X;
webTJ.display("问题c、还款总额："+S,0);

5、等比递增（减）型n年期年金的现值和终值

I、期初付等比递增（减）型n年期年金的现值和终值

设第一年年初付给1元，以后每年收付额递增（减）(j)比例，共付(n)年，用((Pddot{a})_{_n})表示该年金的现值，((Pddot{s})_{_n})表示该年金的终值，则：

[(Pddot{a})_{_n}=1+(1+j)v+(1+j)^2v^2+dots+(1+j)^{n-1}v^{n-1} ]

设(u=(1+j)v)

[(Pddot{a})_{_n}=1+u+u^2+dots+u^{n-1}=frac{1-u^n}{1-u}=frac{1-(1+j)^nv^n}{1-(1+j)v} ag{1-48a} ]

[(Pddot{s})_{_n}=(1+i)^n imes(Pddot{a})_{_n} ag{1-48b} ]

II、期末付等比递增（减）型n年期年金的现值和终值

设第一年年末付给1元，以后以后每年收付额递增（减）(j)比例，共付(n)年，用((Pa)_{_n})表示该年金的现值，((Ps)_{_n})表示该年金的终值，则：

[(Pa)_{_n}=(1+j)v+(1+j)^2v^2+dots+(1+j)^{n}v^{n} ]

设(u=(1+j)v)

[(Pa)_{_n}=u+u^2+dots+u^{n}=frac{(1-u^n) imes u}{1-u}=frac{1-(1+j)^nv^n}{(i-j)div(1+j)} ag{1-48c} ]

[(Ps)_{_n}=(1+i)^n imes(Pa)_{_n} ag{1-48d} ]

【例1.20】某人从20岁开始购买养老保险，其保险账户拟以个人工资8%记入。如果当年工资为6000元，工资年增长率为2%，个人账户累积利率为4%。

a、计算他在退休时个人账户累积额；
b、如果累积利率前10年内为4%，退休前10年内为2%，中间20年为3%，计算退休时个人账户累积额。

解：

a、个人账户在20岁时的现值，

[6000 imes0.08 imes(Pddot{a})_{_{40}}=6000 imes0.08 imesfrac{1-1.02^{_{40}}v^{_{40}}}{1-1.02v}=480 imes28.0846555=13480.63(元) ]

个人账户在60岁时的累积额，

[(Pddot{s})_{_{40}}=(1+i)^{_{40}} imes(Pddot{a})_{_{40}}=1.04^{_{40}} imes13480.63=64720.78(元) ]

b、20-29岁期间，个人账户在20岁的现值为：

[480 imesfrac{1-(1.02div1.04)^{_{10}}}{1-1.02div1.04}=4405.216554 ]

    30-49岁期间，个人账户在20岁的现值为：

[480 imes1.02^{10} imesfrac{1-(1.02div1.03)^{_{20}}}{1-1.03div1.04} imes(frac{1}{1.04})^{10}=7217.296894 ]

    50-59岁期间，个人账户在20岁的现值为：

[480 imes1.02^{30} imes10 imes(frac{1}{1.04})^{10} imes(frac{1}{1.03})^{20}=3252.134534 ]

    最后，个人账户在60岁的累积值为：

[(4405.216554+7217.296894+3252.134534) imes1.04^{10} imes1.03^{20} imes1.02^{10}=48475.95(元) ]

实例代码（例1.20）：

webTJ.clear();
var m = 6000;
var i = 0.04;
var j = 0.02;
var p = 0.08;
var t = 40;
var a = webActuary.getRIFA(t,i,j,0);
webTJ.display("单位元期初付等比递增型年金现值："+a,0);
var w = m*p*webActuary.getRIFA(t,i,j,0);
webTJ.display("问题a、个人账户在20岁时的现值："+w,0);
var s = m*p*webActuary.getRIFS(t,i,j,0);
webTJ.display("问题a、个人账户在60岁时的累积额："+s,0);
var a1 = m*p*webActuary.getRIFA(10,0.04,j,0); 
webTJ.display("问题b、20-29岁期间，个人账户在20岁的现值为："+a1,0);
var a2 = m*p*Math.pow(1.02,10)*webActuary.getRIFA(20,0.03,j,0)*Math.pow(1/1.04,10); 
webTJ.display("问题b、30-49岁期间，个人账户在20岁的现值为："+a2,0);
var a3 = m*p*Math.pow(1.02,30)*10*Math.pow(1/1.04,10)*Math.pow(1/1.03,20); 
webTJ.display("问题b、50-59岁期间，个人账户在20岁的现值为："+a3,0);
var s1 = (a1+a2+a3)*Math.pow(1.04,10)*Math.pow(1.03,20)*Math.pow(1.02,10); 
webTJ.display("问题b、个人账户在60岁的累积值为："+s1,0);

三、一般年金的现值和终值

当支付周期和利息周期不一致时，如利息率为年利息率、年金按月结转，这时的年金称为一般年金。

1、一年支付m次的n年年金

I、期初付年金

设一年支付(m)次，每年期初支付(frac{1}{m})，期限为(n)年，年利率为(i)。记(ddot{a}_n^{(m)})为该年金现值，(ddot{s}_n^{(m)})为该年金终值，则：

[ddot{a}_n^{(m)}=frac{1}{m}+frac{1}{m}v^{^{frac{1}{m}}}+frac{1}{m}v^{^{frac{2}{m}}}+dots+frac{1}{m}v^{^{frac{(n-1)+(m-1)}{m}}}=frac{1-v^n}{m(1-v^{^{frac{1}{m}}})}=frac{1-v^n}{d^{(m)}} ag{1-49} ]

[ddot{s}_n^{(m)}=(1+i)^n imes ddot{a}_n^{(m)}=frac{(1+i)^n-1}{d^{(m)}} ag{1-50} ]

一般年金与基本年金的关系为：

[ddot{a}_n^{(m)}=frac{1-v^n}{d^{(m)}}=frac{d}{d^{(m)}} imesfrac{1-v^n}{d}=frac{d}{d^{(m)}}ddot{a}_n ag{1-51} ]

[ddot{s}_n^{(m)}=frac{d}{d^{(m)}} imesfrac{(1-i)^n-1}{d}=frac{d}{d^{(m)}}ddot{s}_n ag{1-52} ]

II、期末付年金

设一年支付(m)次，每年期末支付(frac{1}{m})，期限为(n)年，年利率为(i)。记(a_n^{(m)})为该年金现值，(s_n^{(m)})为该年金终值，则：

[a_n^{(m)}=frac{1}{m}v^{^{frac{1}{m}}}+frac{1}{m}v^{^{frac{2}{m}}}+dots+frac{1}{m}v^{^{frac{n+m}{m}}}=frac{(1-v^n)}{m[(1+i)^{frac{1}{m}}-1]}=frac{1-v^n}{i^{(m)}} ag{1-53} ]

[s_n^{(m)}=(1+i)^n imes a_n^{(m)}=frac{(1+i)^n-1}{i^{(m)}} ag{1-54} ]

一般年金与基本年金的关系为：

[a_n^{(m)}=frac{1-v^n}{i^{(m)}}=frac{i}{i^{(m)}}frac{1-v^n}{i}=frac{i}{i^{(m)}}a_n ag{1-55} ]

[s_n^{(m)}=frac{i}{i^{(m)}} imesfrac{(1+i)^n-1}{i}=frac{i}{i^{(m)}}s_n ag{1-56} ]

【例1.20a】某人计划在30岁时每年年初存入6000元建立个人账户，年利率为2%。该人60岁退休，问在20年内，

a、每年可领取多少钱？
b、每月可领取多少钱（利息周期和支付周期不一致）？

解：

a、每年领取额为X，(6000 imesddot{s}_{30|0.02}=X imesddot{a}_{20|0.02})，解得(X=14886.06)（元/年）

b、解法一，首先计算实际利息率。((1+j)^12=1.02Leftrightarrow j=0.001651581) ，每月领取额为(X)，则有，(6000 imesddot{s}_{30|0.02}=X imesddot{a}_{240|0.001651581}Leftrightarrow X=1251.80)（元/月）

    解法二，(6000 imesddot{s}_{30|0.02}=12 imes X imesddot{a}_{20|0.02}^{(12)}Leftrightarrow X=1251.80)（元/月）

实例代码（例1.20a）：

webTJ.clear();
var A1=webActuary.getIFA(20,0.02,0); //期初付年金现值
var A2=webActuary.getGIFA(20,12,0.02,0); //期初多次付年金现值
var S = webActuary.getIFS(30,0.02,0); //期初年金终值
var C1 = (6000*S)/A1; //每年领取钱数
var C2 = (6000*S)/(12*A2); //每月领取钱数
webTJ.display("每年领取钱数："+C1,0);
webTJ.display("每月领取钱数："+C2,0);

【例1.21】某人计划在30岁时每月月初存入500元建立个人账户，年利率为2%。该人60岁退休，问在20年内，

a、每年可领取多少钱？
b、每月可领取多少钱？

解：

a、每年领取额为(X)，(500 imesddot{s}_{360|0.001651581}=X imesddot{a}_{20|0.02}Leftrightarrow X=14751.80)（元/年）
b、每月领取额为(X)，(500 imesddot{s}_{360|0.001651581}=X imesddot{a}_{240|0.001651581}Leftrightarrow X=1240.51)（元/月）

实例代码（例1.21）：

webTJ.clear();
var A1=webActuary.getIFA(20,0.02,0); //期初付年金年度现值
var A2=webActuary.getIFA(240,0.001651581,0); //期初付年金月度现值
var S = webActuary.getIFS(360,0.0016515812,0); //期初年金月度终值
var C1 = (500*S)/A1; //每年领取钱数
var C2 = (500*S)/A2; //每月领取钱数
webTJ.display("每年领取钱数："+C1,0);
webTJ.display("每月领取钱数："+C2,0);

2、一年结转k次的年金

I、期初付年金

设一年结转(k)次利息，每次利息结转周期的实际利息率为(j)，每年年初支付1元，共支付(n)年。

记(ddot{a}_n(k))为该年金现值，(ddot{s}_n(k))为该年金终值，则：

[ddot{a}_n(k)=1+v^k+v^{2k}+dots+v^{(n-1)k}=frac{1-v^{kn}}{1-v^k}=frac{a_{_{kn}}}{a_k} ag{1-57} ]

[ddot{s}_n(k)=(1+i)^{kn} imesddot{a}_n(k)=frac{(1+i)^{kn}-1}{1-v^k}=frac{s_{_{kn}}}{a_k} ag{1-58} ]

II、期末付年金

设一年结转(k)次利息，每次利息结转周期的实际利息率为(j)，每年年末支付1元，共支付(n)年。

记(a_n(k))为该年金现值，(s_n(k))为该年金终值，则：

[a_n(k)=v^k+v^{2k}+dots+v^{nk}=frac{v^k(1-v^{kn})}{1-v^k}=frac{a_{_{kn}}}{s_k} ag{1-59} ]

[s_n(k)=(1+i)^{kn} imes a_n(k)=frac{v^k[(1+i)^{kn}-1]}{1-v^k}=frac{s_{_{kn}}}{s_k} ag{1-60} ]

【例1.22】某人向银行贷款20000元，年利率5%，期限为10年。约定每年年初还款，每年结转4次利息，求每年还款额。

解、 ((1+j)^4=1.05Leftrightarrow j=0.012272234)

    (X imesddot{a}_{10|0.012272234}(4)=20000Leftrightarrow X imesfrac{ddot{a}_{4|0.012272234}}{ddot{a}_{40|0.012272234}}=2467)（元/年）

实例代码（例1.22）：

webTJ.clear();
var A=webActuary.getKIFA(10,4,0.012272243,0); //期初每年4次付年金现值
webTJ.display("每每年还款额："+20000/A,0);

四、连续年金的现值和终值

支付频率无限大（即连续支付，在一般年金中，令(m ightarrowinfty)）的年金称为连续年金。设连续支付(n)个计息期，每个计息期的支付额为1的年金现值为(ar{a}_n)，终值为(ar{s}_n)，则：

[ar{a}_n=lim_{m oinfty}ddot{a}_n^{(m)}=frac{1-v^n}{d^{(m)}}=frac{1-v^n}{delta} ag{1-61} ]

[ar{s}_n=lim_{m oinfty}ddot{s}_n^{(m)}=frac{(1+i)^n-1}{d^{(m)}}=frac{(1+i)^n-1}{delta} ag{1-62} ]

五、永续年金的现值

支付次数没有限制，永远持续的年金称为永续年金。如股票中不能赎回的优先股，其固定红利的付给就是永续年金的形式。由于支付没有终点时刻，永续年金的终值不存在。当(n ightarrowinfty)时，每年支付1元的永续年金现值为：

[ddot{a}_{infty}=lim_{m oinfty}ddot{a}_n=lim_{m oinfty}frac{1-v^n}{d}=frac{1}{d} ag{1-63} ]

[a_{infty}=lim_{m oinfty}a_n=lim_{m oinfty}frac{1-v^n}{i}=frac{1}{i} ag{1-64} ]

[ddot{a}_{infty}^{(m)}=lim_{m oinfty}ddot{a}_n^{(m)}=lim_{m oinfty}frac{1-v^n}{d^{(m)}}=frac{1}{d^{(m)}} ag{1-65} ]

[a_{infty}^{(m)}=lim_{m oinfty}a_n^{(m)}=lim_{m oinfty}frac{1-v^n}{i^{(m)}}=frac{1}{i^{(m)}} ag{1-66} ]

六、确定年金类函数索引和计算表

基本年金现值

函数：webActuary.getIFA(t,p,k);
公式：(1-30) - 期初、(1-33) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

基本年金终值

函数：webActuary.getIFS(t,p,k);
公式：(1-31) - 期初、(1-34) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

基本年金计算表（确定型年金计算表I）
金额    利率    期限    期初期末  运 行

注：设置参数后，点击“运 行”按钮，获得1到指定期限现值和终值。

---

延期付年金现值

函数：webActuary.getMIFA(t,p,m,k);
公式：(1-38) - 期初、(1-39) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；m - 延期；k - 期初k = 0、期末k = 1

延期付年金终值

函数：webActuary.getMIFS(t,p,m,k);
公式：(1-38a) - 期初、(1-39a) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；m - 延期；k - 期初k = 0、期末k = 1

延期年金计算表（确定型年金计算表II）
金额    利率    期限    延期    期初期末  运 行

注：设置参数后，点击“运 行”按钮，获得1到指定期限现值和终值。

---

递增型年金现值

函数：webActuary.getIIFA(t,p,k);
公式：(1-41) - 期初、(1-43) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

递增型年金终值

函数：webActuary.getIIFS(t,p,k);
公式：(1-42) - 期初、(1-44) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

递增型年金计算表（确定型年金计算表III）
金额    利率    期限    期初期末  运 行

注：设置参数后，点击“运 行”按钮，获得1到指定期限现值和终值。

---

递减型年金现值

函数：webActuary.getDIFA(t,p,k);
公式：(1-45) - 期初、(1-47) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

递减型年金终值

函数：webActuary.getDIFS(t,p,k);
公式：(1-46) - 期初、(1-48) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

递减型年金计算表（确定型年金计算表IV）
金额    利率    期限    期初期末  运 行

注：设置参数后，点击“运 行”按钮，获得1到指定期限现值和终值。

---

等比递增（减）型年金现值

函数：webActuary.getRIFA(t,p,q,k);
公式：(1-48a) - 期初、(1-48c) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；q - 收付额递增（减）比例；k - 期初k = 0、期末k = 1

等比递增（减）型年金终值

函数：webActuary.getRIFS(t,p,q,k);
公式：(1-48b) - 期初、(1-48d) - 期末
参数：t - 给付时间；p - 利率；q - 收付额递增（减）比例；k - 期初k = 0、期末k = 1

等比递增（减）型年金计算表（确定型年金计算表V）
金额    利率    期限    增加比例    期初期末  运 行

注：设置参数后，点击“运 行”按钮，获得1到指定期限现值和终值（注意，参数中利率$ ot=$增加比例）。

---

一年多次支付年金现值

函数：webActuary.getGIFA(t,m,p,k);
公式：(1-49) - 期初、(1-51) - 期末
参数：t - 给付时间；m - 一年支付次数；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

一年多次支付年金终值

函数：webActuary.getGIFS(t,m,p,k);
公式：(1-52) - 期初、(1-53) - 期末
参数：t - 给付时间；m - 一年支付次数；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

一年多次支付年金计算表（确定型年金计算表VI）
金额    利率    期限    支付次数    期初期末  运 行

注：设置参数后，点击“运 行”按钮，获得1到指定期限现值和终值。

---

一年多次结转年金现值

函数：webActuary.getKIFA(t,m,p,k);
公式：(1-57) - 期初、(1-59) - 期末
参数：t - 给付时间；m - 一年结转次数；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

一年多次结转年金终值

函数：webActuary.getKIFS(t,m,p,k);
公式：(1-58) - 期初、(1-60) - 期末
参数：t - 给付时间；m - 一年结转次数；p - 利率；k - 期初k = 0、期末k = 1

一年多次结转年金计算表（确定型年金计算表VII）
金额    利率    期限    结转次数    期初期末  运 行

注：设置参数后，点击“运 行”按钮，获得1到指定期限现值和终值。

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七、寿险精算代码窗口

---

代码窗口 注：可将例题实例代码复制、粘贴到“代码窗口”，点击“运行代码”获得计算结果（鼠标选择实例代码$ ightarrow$Ctrl+C:复制$ ightarrow$鼠标点击“代码窗口”使其获得焦点$ ightarrow$Ctrl+V:粘贴） 运行代码

代码运行效果

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