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  • 确定型年金

    (2016-12-21银河统计)

    第一章 利息理论

    教学重点:掌握利息的基础理论,年金现值、年金终值的定义及计算方法,永续年金、变额年金的现值和终值的计算;熟悉年金的定义及分类方法。

    人寿保险是以人的身体和为保险标的的保险。人生的各个不同阶段一直都面临着生、老、病、死的风险,往往需要通过保险得到经济安全保障。为了在较长时期内平衡缴费水平,人寿保险通常为长期合同。因此,在寿险精算中,必须要考虑资金的投资收益,利息理论便成为寿险精算的基础。

    第二节、年金分析

    本节概要:年金现值、终值的定义及计算方法,以及各种年金现值和终值在线计算表

    年金是收付款的一种方式,它是指在一个相等的时间间隔进行的一系列固定数额收付款方式。如向银行一次性贷款后在今后的若干年内等额还款,以分期付款方式购买大宗商品等。

    一、终值和现值

    货币是有时间价值的,在不同时期,相同货币额的价值是不同的。为了体现货币的时间价值,这里引入终值和现值的概念。终值是现在时期货币值在未来时期的价值,现值是未来时期货币值在现在时期的价值。

    由(1-11)和(1-15)可知,1单位货币在t年的终值为:(a(t)=(1+i)^t);未来(t)年1单位货币的现值为:

    [v(t)=frac{1}{(1+i)^{^t}} ag{1-27} ]

    令,

    [v=frac{1}{1+i} ag{1-27a} ]

    则,

    [v(t)=v^t ag{1-28} ]

    我们称(v)为折现因子(或贴现因子),(v^t)称为折现函数(或贴现函数)。由(1-14),(d=frac{i}{1+i})可知贴现率与折现因子的关系是:

    [v=1-d ag{1-29} ]

    二、基本年金的现值和终值

    1、定额年金的现值和终值

    I、期初付(n)年定额年金的现值和终值

    设每年年初定期付给1元,给付时间为n年,用(ddot{a}_{_n})表示该年金的现值,(ddot{s}_{_n})表示该年金的终值,则期初付(n)年定期年金的现值为:

    [ddot{a}_{_n}=1+v+v^{^2}+dots+v^{^{n-1}}=frac{1-v^{^n}}{1-v}=frac{1-v^{^n}}{d} ag{1-30} ]

    期初付(n)年定期年金的终值为:

    [ddot{s}_{_n}=(1+i)+(1+i)^{^2}+dots+(1+i)^{^n}=frac{(1+i)^{^n}-1}{d} ag{1-31} ]

    由式(1-27)可得期初付年金的现值和终值的关系为:

    [ddot{s}_{_n}=ddot{a}_{_n} imes(1+i)^{^n} ag{1-32} ]

    通常,(ddot{a}_{_n})(ddot{s}_{_n})符号不必标出计算所依据的利率,但在有些时候为避免引起混乱,可写成(ddot{a}_{_{n|i}})(ddot{s}_{_{n|i}})的形式。

    【例1.10】某人从银行贷款20万元用于购买住房,贷款年利率为5%,还款期为30年。如果从第一年开始每年等额还款,求每年还款数额。

    解:设每年还款数额为(X),由于贷款额和还款数额在零时刻的现值是相等的,即,

    [200000=X imesddot{a}_{_{30}}Leftrightarrow X=frac{200000}{ddot{a}_{_{30}}}=frac{200000}{16.14107358}=12390.75(元) ]

    其中,

    [ddot{a}_{_{30}}=1+v+v^{^2}+dots+v^{^{29}}=frac{1-v^{^{30}}}{1-v}=[1-frac{1}{(1+i)^{^{30}}}]div{(1-frac{1}{1+i})}=16.14107358 ]

    实例代码(例1.10):

    webTJ.clear();//清空输出
    var m = 200000;//银行贷款额
    var i = 0.05;//年利息率
    var t = 30;//还款期
    var a = webActuary.getIFA(t,i,0);//单位元期初年金现值
    webTJ.display("期初年金现值:"+a+"元",0);
    var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年还款数额
    webTJ.display("每年还款数额:"+v+"元",0);
    

    【例1.11】某人用2000元一次性购买了15年确定年金,年利率为6%。如果第一次领取年金从购买时开始,试计算每年可以领取的数额。

    解:设每年领取数额为(X),由于购买额和领取数额在零时刻的现值相等,即,

    [2000=X imesddot{a}_{_{15}}Leftrightarrow X=frac{2000}{ddot{a}_{_{15}}}=194.27(元) ]

    实例代码(例1.11):

    webTJ.clear();//清空输出
    var m = 2000;//投资额
    var i = 0.06;//年利息率
    var t = 15;//投资期
    var a = webActuary.getIFA(t,i,0);//单位元期初年金现值
    webTJ.display("期初年金现值:"+a+"元",0);
    var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年还款数额
    webTJ.display("每年领取数额:"+v+"元",0);
    

    II、期末付(n)年定额年金的现值和终值

    设每年年末定期付给1元,给付时间为(n)年,用(a_n)表示该年金的现值,(s_n)表示该年金的终值。则,期末付(n)年定期年金的现值为:

    [a_n=v+v^2+dots+v^n=frac{1-v^{^n}}{i} ag{1-33} ]

    期末付(n)年定期年金的终值为:

    [s_n=1+(1+i)+(1+i)^2+dots+(1+i)^{n-1}=frac{(1+i)^{^n}-1}{i} ag{1-34} ]

    期末付年金的现值和终值的关系为:

    [s_n=a_n imes(1+i)^n ag{1-35} ]

    期初付年金现值与期末付年金现值的关系为:

    [ddot{a}_n=(1+i) imes a_n ag{1-36} ]

    期初付年金终值与期末付年金终值的关系为:

    [ddot{s}_n=(1+i) imes s_n ag{1-37} ]

    【例1.12】某人从银行贷款20万元用于购买住房,贷款年利率为5%,还款期为30年。如果从第二年开始每年等额还款,求每年还款数额。
    解:设每年还款数额为(X),由于贷款额和还款数额在零时刻的现值是相等的,即,

    [200000=X imes a_{_{30}}Leftrightarrow X=frac{200000}{a_{_{30}}}=frac{200000}{15.372451}=13010.29(元) ]

    实例代码(例1.12):

    webTJ.clear();//清空输出
    var m = 200000;//银行贷款额
    var i = 0.05;//年利息率
    var t = 30;//还款期
    var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
    webTJ.display("期末年金现值:"+a+"元",0);
    var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年还款数额
    webTJ.display("每年还款数额:"+v+"元",0);
    

    【例1.13】计算年利率为6%条件下,每年年末投资1000元,投资10年的现值及累积值(终值)。

    解:

    现值(开始时价值)=(1000 imes a_{_{10|0.05}}=1000 imes 7.360087approx7360.09(元))

    终值(结束时价值)=(1000 imes s_{_{10|0.05}}=1000 imes 13.180795approx13180.80(元))

    实例代码(例1.13):

    webTJ.clear();
    var m = 1000;//每年年末投资额
    var i = 0.06;//年利息率
    var t = 10;//投资期
    var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
    webTJ.display("期末年金现值:"+a+"元",0);
    var v = webTJ.getDecimal(m*a,2);//现值(开始时价值)
    webTJ.display("现值(开始时价值):"+v+"元",0);
    var a1 = webActuary.getIFS(t,i,1);//单位元期末年金终值
    webTJ.display("期末年金终值:"+a1+"元",0);
    var v1 = webTJ.getDecimal(m*a1,2);//终值(结束时价值)
    webTJ.display("终值(结束时价值):"+v1+"元",0);
    

    【例1.14】通过零存整取方式在一年后获得10000元,月复利为0.5%。每月存款多少?

    解:设每月存款为(D),则,

    [D imes s_{_{12|0.005}}=10000Leftrightarrow D=frac{10000}{12.335562}approx810.66(元) ]

    实例代码(例1.14):

    webTJ.clear();
    var m = 10000;//零存整取本利和
    var i = 0.005;//月利息率
    var t = 12;//投资期(月)
    var s = webActuary.getIFS(t,i,1);//单位元期末年金终值
    webTJ.display("期末年金现值:"+s+"元",0);
    var v = webTJ.getDecimal(m/s,2);//每月存款数额
    webTJ.display("每月存款数额:"+v+"元",0);
    

    【例1.15】在银行存入20000元,计划4年支取完,每半年支取一次,年利率为7%。计算每次支取额度。

    解:设每次支取额度(R),则,

    [R imes a_{_{8|0.035}}=20000Leftrightarrow R=frac{20000}{a_{_{8|0.0035}}}=2909.53(元) ]

    实例代码(例1.15):

    webTJ.clear();
    var m = 20000;//零银行存款额
    var i = 0.035;//半年利息率
    var t = 8;//投资期(半年)
    var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
    webTJ.display("期末年金现值:"+a+"元",0);
    var v = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每次支取额
    webTJ.display("每次支取额:"+v+"元",0);
    

    【例1.16】已知年利率为8%,向银行贷款10000元,期限为5年,计算下面三种还款方式中利息额度。

    a. 第五年一次还清;
    b. 每年年末支付贷款利息,第五年年末归还本金;
    c. 贷款每年均衡偿还(即采用年金方式)。

    解:

    a. 本利和 = (10000 imes(1+0.08)^5=14693.28(元)),其中利息额为4693.28元。

    b. 每年年末支付利息800元,5年共支付4000元。

    c. 设每年偿还R元,(R=frac{10000}{a_{_{5|0.08}}}=2504.56(元)),5年共还款(2504.56 imes5=12522.80(元)),其中利息额为2522.80元。

    实例代码(例1.16):

    webTJ.clear();
    var m = 10000;//银行贷款
    var i = 0.08;//年利息率
    var t = 5;//投资期(半年)
    var v = webActuary.getFL(m,t,i);//5年本利和
    webTJ.display("5年本利和:"+v+"元,其中利息额为:"+(v-m)+"元",0);
    webTJ.display("每年年末支付利息800元,5年共支付4000元",0);
    var a = webActuary.getIFA(t,i,1);//单位元期末年金现值
    var v1 = webTJ.getDecimal(m/a,2);//每年偿还额    
    webTJ.display("每年偿还额:"+v1+"元"+"5年共还款额:"+v1*t+"元"+"其中利息额为:"+webTJ.getDecimal((v1*t-m),2)+"元",0);
    

    2、延期付定额年金的现值和终值

    I、期初付延期m年的n年定额年金的现值和终值

    设每年年初定期付给1元,于(m)年年初开始给付,共付(n)年,用(_{_m}ddot{a}_{_n})表示该年金的现值,(_{_m}ddot{s}_{_n})表示该年金的终值,则:

    [_{_m}ddot{a}_{_n}=v^m+v^{m+1}+dots+v^{m+n-1}=v^m imesddot{a}_{_n}=ddot{a}_{_{n+m}}-ddot{a}_{_m} ag{1-38} ]

    公式(1-38)中,令,

    [egin{eqnarray*} _{_m}ddot{a}_{_n}&=&v^m+v^{m+1}+dots+v^{m+n-1}+ddot{a}_{_m}-ddot{a}_{_m}\&=&(1+v+v^{^2}+dots+v^{^{m-1}})+(v^m+v^{m+1}+dots+v^{m+n-1})-ddot{a}_{_m}\&=&ddot{a}_{_{n+m}}-ddot{a}_{_m}qquad(证毕) end{eqnarray*}]

    [_{_m}ddot{s}_{_n}=ddot{s}_{_n}=frac{(1+i)^{^n}-1}{d} ag{1-38a} ]

    II、期末付延期m年的n年定额年金的现值和终值

    设每年年末定期付给1元,于(m)年年末开始给付,共付(n)年,用(_{_m}a_{_n})表示该年金的现值,(_{_m}s_{_n})表示该年金的终值,则:

    [_{_m}a_{_n}=v^{^m} imes a_{_n}=a_{_{m+n}}-a_{_m} ag{1-39} ]

    [_{_m}s_{_n}=frac{(1+i)^{^n}-1}{i} ag{1-39a} ]

    【例1.17】某人贷款50000元购买汽车,从贷款后第九个月开始用5年的时间每月还款,年利为6%,求每月还款额。

    解:月利率为,((1+j)^{12}=1.06Leftrightarrow j=0.004868),再设每月还款额为(X),银行收付款一般为期末支付,第九个月开始还款意味延期8个月。则有,

    (_{_8}{a}_{_{50}} imes X=42.5975 imes X=50000),解得,(X=1173.78(元))

    实例代码(例1.17):

    webTJ.clear();
    var s = 50000;//银行贷款
    var i = 0.06;//年利息率
    var t = 50;//投资期(月)
    var m = 8;//延期(月)
    var j = Math.pow(1.06,1/12)-1;//月利息率
    webTJ.display("月利息率:"+j,0);
    var a = webActuary.getMIFA(t,j,m,1);//单位元期末延期年金现值
    var v = webTJ.getDecimal(s/a,2);//每月还款额    
    webTJ.display("每月还款额:"+v+"元",0);
    

    III、任意时刻年金值经验公式

    a. 将现值向前折现m年

    [v^{^m} imesddot{a}_{_n}=ddot{a}_{_{m+n}}-ddot{a}_{_m} ag{1-40aa} ]

    [v^{^m} imes a_{_n}=a_{_{m+n}}-a_{_m} ag{1-40ab} ]

    b. 将现值向后积累m年

    [ddot{a}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=v^{^{m-n}} imesddot{s}_{_n}=ddot{s}_{_m}+ddot{a}_{_{m+n}} ag{1-40ba} ]

    [{a}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=v^{^{m-n}} imes{s}_{_n}=ddot{s}_{_m}+{a}_{_{m+n}} ag{1-40bb} ]

    证明:

    [ddot{a}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=frac{1-v^{^n}}{d} imes{(1+i)}^{^m}=frac{{(1+i)}^{^m}-v^{^{n-m}}}{d}=frac{{(1+i)}^{^n}-1}{{(1+i)}^{^{n-m}} imes{d}}=v^{^{n-m}} imesddot{s}_{_n} ]

    又,

    [ddot{a}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=frac{{(1+i)}^{^m}-v^{^{n-m}}}{d}=frac{{(1+i)}^{^m}-1+1-v^{^{n-m}}}{d}=ddot{s}_{_m}+ddot{a}_{_{n-m}}qquad(证毕) ]

    c. 将终值向前折现m年

    [v^{^m} imesddot{s}_{_n}=ddot{s}_{_{n-m}}+ddot{a}_{_m} ag{1-40ca} ]

    [v^{^m} imes{s}_{_n}={s}_{_{n-m}}+{a}_{_m} ag{1-40cb} ]

    d. 将终值向前折现m年

    [ddot{s}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}=ddot{s}_{_{n+m}}-ddot{s}_{_n} ag{1-40da} ]

    [{s}_{_n} imes{(1+i)}^{^m}={s}_{_{n+m}}-{s}_{_n} ag{1-40db} ]

    3、递增型n年期年金的现值和终值

    I、期初付递增型n年期年金的现值和终值

    设第一年年初付给1元,以后每年年初增加1元,共付(n)年,用((Iddot{a})_{_n})表示该年金的现值,((Iddot{s})_{_n})表示该年金的终值,则:

    [(Iddot{a})_{_n}=1+2v+3v^2+dots+nv^{n-1}=frac{ddot{a}_{_n}-nv^n}{d} ag{1-41} ]

    [(Iddot{s})_{_n}=(Iddot{a})_{_n} imes(1+i)^n=frac{ddot{s}_{_n}-n}{d} ag{1-42} ]

    II、期末付递增型n年期年金的现值和终值

    设第一年年末付给1元,以后每年年末增加1元,共付(n)年,用((Ia)_{_n})表示该年金的现值,((Is)_{_n})表示该年金的终值,则:

    [(Ia)_{_n}=v+2v^2+3v^3+dots+nv^n=frac{ddot{a}_{_n}-nv^n}{i} ag{1-43} ]

    [(Is)_{_n}=(Ia)_{_n} imes(1+i)^n=frac{ddot{s}_{_n}-n}{i} ag{1-44} ]

    【例1.18】某年金第一年末收付1000元,以后每隔一年收付额比前一年增加100元,共收付10年、年利为5%,求第10年年末的终值。

    解:这一变额年金可以分解为每年900元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金之和。即,

    [900s_{_{10}}+100(Is)_{_{10}}=900 imes12.5779+100 imes64.13574=17733.6776(元) ]

    实例代码(例1.18):

    webTJ.clear();
    var m1 = 900;
    var m2 = 100;
    var i = 0.05;
    var t = 10;
    var s = webActuary.getIFS(t,i,1);
    webTJ.display("单位元期末定额年金终值:"+s,0);
    var Is = webActuary.getIIFS(t,i,1);
    webTJ.display("单位元期末等差递增年金终值:"+Is,0);
    var v = m1*s+m2*Is;
    webTJ.display("终值:"+v,0);
    

    4、递减型n年期年金的现值和终值

    I、期初付递减型n年期年金的现值和终值

    设第一年年初付给(n)元,以后每年减少1元,共付(n)年,用((Dddot{a})_{_n})表示该年金的现值,((Dddot{s})_{_n})表示该年金的终值,则:

    [(Dddot{a})_{_n}=n+(n-1)v+(n-2)v^2+dots+v^{n-1}=frac{n-a_{_n}}{d} ag{1-45} ]

    [(Dddot{s})_{_n}=(Dddot{a})_{_n} imes(1+i)^n=frac{n(1+i)^n-s_{_n}}{d} ag{1-46} ]

    II、期末付递减型n年期年金的现值和终值

    设第一年年末付给(n)元,以后每年递减1元,共付(n)年,用((Da)_{_n})表示该年金的现值,((Ds)_{_n})表示该年金的终值,则:

    [(Da)_{_n}=nv+(n-1)v^2+(n-2)v^3+dots+v^n=frac{n-a_{_n}}{i} ag{1-47} ]

    [(Ds)_{_n}=(Da)_{_n} imes(1+i)^n=frac{n(1+i)^n-s_{_n}}{i} ag{1-48} ]

    【例1.19】某人从银行贷款50万元购买住房,年利为5%,贷款期限20年。

    a、采用期末递减还款方式,求第一年末还款额和每年递减额;
    b、第一个月及每月递减额;
    c、该人预计5年内每年还款10万元,然后采用递减还款方式,求第六年末还款额和以后每年递减额。

    解:
    a、每年递减额为(X)(X imes(Da)_{_{20|0.05}}=150.7558 imes{X}=500000),解得,(X=3316.62(元))
        第一年末还款额为(3316.62 imes20=66332.4(元))
        还款总额为((20+19+dots+1) imes3316.62=696490.2(元))

    b、月利率为((1+j)^{12}=1.05Leftrightarrow j=0.004074124),每月递减额为(X),则有:
        (X imes(Da)_{_{240|0.004074124}}=500000),解得,(X=23.4(元))
        第一月末还款额为(23.4 imes240=5616(元))
        还款总额为((240+239+dots+1) imes23.4=676728(元))

    c、设第六年开始每年递减额为(X)。该问题可分解为5年等额年金和15年延期递减年金之和。即,
        (100000 imes a_{_{5|0.05}}+X imes V^5 imes(Da)_{_{15|0.05}}=500000),解得,(X=926.1(元))
        第六年末还款额为(926.1 imes15=13891.5(元))
        还款总额为(5 imes100000+(15+14+dots+1) imes926.1=611132(元))

    实例代码(例1.19):

    webTJ.clear();
    var m = 500000;
    var i = 0.05;
    var t = 20;
    var Ds = webActuary.getDIFA(t,i,1);
    webTJ.display("问题a、单位元期末等差递减年金终值:"+Ds,0);
    var X = m/Ds;
    webTJ.display("问题a、每年递减额:"+X,0);
    var M = t*X;
    webTJ.display("问题a、第一年末还款额:"+M,0);
    var S = (t*(t+1)/2)*X;
    webTJ.display("问题a、还款总额:"+S,0);
    var j = Math.pow(1+i,1/12)-1;
    webTJ.display("问题b、月利率:"+j,0);
    var t1 = 240;
    Ds = webActuary.getDIFA(t1,j,1);
    webTJ.display("问题b、单位元期末等差递减年金终值:"+Ds,0);
    X = m/Ds;
    webTJ.display("问题b、每月递减额:"+X,0);
    M = t1*X;
    webTJ.display("问题b、第一月末还款额:"+M,0);
    S = (t1*(t1+1)/2)*X;
    webTJ.display("问题b、还款总额:"+S,0);
    var R = 100000;
    var t2 = 5;
    var t3 = 15; 
    var v=1/(1+i); 
    var V = Math.pow(v,t2);  
    var a = webActuary.getIFA(t2,i,1);
    Ds = webActuary.getDIFA(t3,i,1);
    X = (m-R*a)/(V*Ds);
    webTJ.display("问题c、第六年开始每年递减额:"+X,0);
    M = t2*X;
    webTJ.display("问题c、第六年末还款额:"+M,0);
    S = R*t2+(t3*(t3+1)/2)*X;
    webTJ.display("问题c、还款总额:"+S,0);
    

    5、等比递增(减)型n年期年金的现值和终值

    I、期初付等比递增(减)型n年期年金的现值和终值

    设第一年年初付给1元,以后每年收付额递增(减)(j)比例,共付(n)年,用((Pddot{a})_{_n})表示该年金的现值,((Pddot{s})_{_n})表示该年金的终值,则:

    [(Pddot{a})_{_n}=1+(1+j)v+(1+j)^2v^2+dots+(1+j)^{n-1}v^{n-1} ]

    (u=(1+j)v)

    [(Pddot{a})_{_n}=1+u+u^2+dots+u^{n-1}=frac{1-u^n}{1-u}=frac{1-(1+j)^nv^n}{1-(1+j)v} ag{1-48a} ]

    [(Pddot{s})_{_n}=(1+i)^n imes(Pddot{a})_{_n} ag{1-48b} ]

    II、期末付等比递增(减)型n年期年金的现值和终值

    设第一年年末付给1元,以后以后每年收付额递增(减)(j)比例,共付(n)年,用((Pa)_{_n})表示该年金的现值,((Ps)_{_n})表示该年金的终值,则:

    [(Pa)_{_n}=(1+j)v+(1+j)^2v^2+dots+(1+j)^{n}v^{n} ]

    (u=(1+j)v)

    [(Pa)_{_n}=u+u^2+dots+u^{n}=frac{(1-u^n) imes u}{1-u}=frac{1-(1+j)^nv^n}{(i-j)div(1+j)} ag{1-48c} ]

    [(Ps)_{_n}=(1+i)^n imes(Pa)_{_n} ag{1-48d} ]

    【例1.20】某人从20岁开始购买养老保险,其保险账户拟以个人工资8%记入。如果当年工资为6000元,工资年增长率为2%,个人账户累积利率为4%。

    a、计算他在退休时个人账户累积额;
    b、如果累积利率前10年内为4%,退休前10年内为2%,中间20年为3%,计算退休时个人账户累积额。

    解:

    a、个人账户在20岁时的现值,

    [6000 imes0.08 imes(Pddot{a})_{_{40}}=6000 imes0.08 imesfrac{1-1.02^{_{40}}v^{_{40}}}{1-1.02v}=480 imes28.0846555=13480.63(元) ]

    个人账户在60岁时的累积额,

    [(Pddot{s})_{_{40}}=(1+i)^{_{40}} imes(Pddot{a})_{_{40}}=1.04^{_{40}} imes13480.63=64720.78(元) ]

    b、20-29岁期间,个人账户在20岁的现值为:

    [480 imesfrac{1-(1.02div1.04)^{_{10}}}{1-1.02div1.04}=4405.216554 ]

        30-49岁期间,个人账户在20岁的现值为:

    [480 imes1.02^{10} imesfrac{1-(1.02div1.03)^{_{20}}}{1-1.03div1.04} imes(frac{1}{1.04})^{10}=7217.296894 ]

        50-59岁期间,个人账户在20岁的现值为:

    [480 imes1.02^{30} imes10 imes(frac{1}{1.04})^{10} imes(frac{1}{1.03})^{20}=3252.134534 ]

        最后,个人账户在60岁的累积值为:

    [(4405.216554+7217.296894+3252.134534) imes1.04^{10} imes1.03^{20} imes1.02^{10}=48475.95(元) ]

    实例代码(例1.20):

    webTJ.clear();
    var m = 6000;
    var i = 0.04;
    var j = 0.02;
    var p = 0.08;
    var t = 40;
    var a = webActuary.getRIFA(t,i,j,0);
    webTJ.display("单位元期初付等比递增型年金现值:"+a,0);
    var w = m*p*webActuary.getRIFA(t,i,j,0);
    webTJ.display("问题a、个人账户在20岁时的现值:"+w,0);
    var s = m*p*webActuary.getRIFS(t,i,j,0);
    webTJ.display("问题a、个人账户在60岁时的累积额:"+s,0);
    var a1 = m*p*webActuary.getRIFA(10,0.04,j,0); 
    webTJ.display("问题b、20-29岁期间,个人账户在20岁的现值为:"+a1,0);
    var a2 = m*p*Math.pow(1.02,10)*webActuary.getRIFA(20,0.03,j,0)*Math.pow(1/1.04,10); 
    webTJ.display("问题b、30-49岁期间,个人账户在20岁的现值为:"+a2,0);
    var a3 = m*p*Math.pow(1.02,30)*10*Math.pow(1/1.04,10)*Math.pow(1/1.03,20); 
    webTJ.display("问题b、50-59岁期间,个人账户在20岁的现值为:"+a3,0);
    var s1 = (a1+a2+a3)*Math.pow(1.04,10)*Math.pow(1.03,20)*Math.pow(1.02,10); 
    webTJ.display("问题b、个人账户在60岁的累积值为:"+s1,0);
    

    三、一般年金的现值和终值

    当支付周期和利息周期不一致时,如利息率为年利息率、年金按月结转,这时的年金称为一般年金。

    1、一年支付m次的n年年金

    I、期初付年金

    设一年支付(m)次,每年期初支付(frac{1}{m}),期限为(n)年,年利率为(i)。记(ddot{a}_n^{(m)})为该年金现值,(ddot{s}_n^{(m)})为该年金终值,则:

    [ddot{a}_n^{(m)}=frac{1}{m}+frac{1}{m}v^{^{frac{1}{m}}}+frac{1}{m}v^{^{frac{2}{m}}}+dots+frac{1}{m}v^{^{frac{(n-1)+(m-1)}{m}}}=frac{1-v^n}{m(1-v^{^{frac{1}{m}}})}=frac{1-v^n}{d^{(m)}} ag{1-49} ]

    [ddot{s}_n^{(m)}=(1+i)^n imes ddot{a}_n^{(m)}=frac{(1+i)^n-1}{d^{(m)}} ag{1-50} ]

    一般年金与基本年金的关系为:

    [ddot{a}_n^{(m)}=frac{1-v^n}{d^{(m)}}=frac{d}{d^{(m)}} imesfrac{1-v^n}{d}=frac{d}{d^{(m)}}ddot{a}_n ag{1-51} ]

    [ddot{s}_n^{(m)}=frac{d}{d^{(m)}} imesfrac{(1-i)^n-1}{d}=frac{d}{d^{(m)}}ddot{s}_n ag{1-52} ]

    II、期末付年金

    设一年支付(m)次,每年期末支付(frac{1}{m}),期限为(n)年,年利率为(i)。记(a_n^{(m)})为该年金现值,(s_n^{(m)})为该年金终值,则:

    [a_n^{(m)}=frac{1}{m}v^{^{frac{1}{m}}}+frac{1}{m}v^{^{frac{2}{m}}}+dots+frac{1}{m}v^{^{frac{n+m}{m}}}=frac{(1-v^n)}{m[(1+i)^{frac{1}{m}}-1]}=frac{1-v^n}{i^{(m)}} ag{1-53} ]

    [s_n^{(m)}=(1+i)^n imes a_n^{(m)}=frac{(1+i)^n-1}{i^{(m)}} ag{1-54} ]

    一般年金与基本年金的关系为:

    [a_n^{(m)}=frac{1-v^n}{i^{(m)}}=frac{i}{i^{(m)}}frac{1-v^n}{i}=frac{i}{i^{(m)}}a_n ag{1-55} ]

    [s_n^{(m)}=frac{i}{i^{(m)}} imesfrac{(1+i)^n-1}{i}=frac{i}{i^{(m)}}s_n ag{1-56} ]

    【例1.20a】某人计划在30岁时每年年初存入6000元建立个人账户,年利率为2%。该人60岁退休,问在20年内,

    a、每年可领取多少钱?
    b、每月可领取多少钱(利息周期和支付周期不一致)?

    解:

    a、每年领取额为X,(6000 imesddot{s}_{30|0.02}=X imesddot{a}_{20|0.02}),解得(X=14886.06)(元/年)

    b、解法一,首先计算实际利息率。((1+j)^12=1.02Leftrightarrow j=0.001651581) ,每月领取额为(X),则有,(6000 imesddot{s}_{30|0.02}=X imesddot{a}_{240|0.001651581}Leftrightarrow X=1251.80)(元/月)

        解法二,(6000 imesddot{s}_{30|0.02}=12 imes X imesddot{a}_{20|0.02}^{(12)}Leftrightarrow X=1251.80)(元/月)

    实例代码(例1.20a):

    webTJ.clear();
    var A1=webActuary.getIFA(20,0.02,0); //期初付年金现值
    var A2=webActuary.getGIFA(20,12,0.02,0); //期初多次付年金现值
    var S = webActuary.getIFS(30,0.02,0); //期初年金终值
    var C1 = (6000*S)/A1; //每年领取钱数
    var C2 = (6000*S)/(12*A2); //每月领取钱数
    webTJ.display("每年领取钱数:"+C1,0);
    webTJ.display("每月领取钱数:"+C2,0);
    

    【例1.21】某人计划在30岁时每月月初存入500元建立个人账户,年利率为2%。该人60岁退休,问在20年内,

    a、每年可领取多少钱?
    b、每月可领取多少钱?

    解:

    a、每年领取额为(X)(500 imesddot{s}_{360|0.001651581}=X imesddot{a}_{20|0.02}Leftrightarrow X=14751.80)(元/年)
    b、每月领取额为(X)(500 imesddot{s}_{360|0.001651581}=X imesddot{a}_{240|0.001651581}Leftrightarrow X=1240.51)(元/月)

    实例代码(例1.21):

    webTJ.clear();
    var A1=webActuary.getIFA(20,0.02,0); //期初付年金年度现值
    var A2=webActuary.getIFA(240,0.001651581,0); //期初付年金月度现值
    var S = webActuary.getIFS(360,0.0016515812,0); //期初年金月度终值
    var C1 = (500*S)/A1; //每年领取钱数
    var C2 = (500*S)/A2; //每月领取钱数
    webTJ.display("每年领取钱数:"+C1,0);
    webTJ.display("每月领取钱数:"+C2,0);
    

    2、一年结转k次的年金

    I、期初付年金

    设一年结转(k)次利息,每次利息结转周期的实际利息率为(j),每年年初支付1元,共支付(n)年。

    (ddot{a}_n(k))为该年金现值,(ddot{s}_n(k))为该年金终值,则:

    [ddot{a}_n(k)=1+v^k+v^{2k}+dots+v^{(n-1)k}=frac{1-v^{kn}}{1-v^k}=frac{a_{_{kn}}}{a_k} ag{1-57} ]

    [ddot{s}_n(k)=(1+i)^{kn} imesddot{a}_n(k)=frac{(1+i)^{kn}-1}{1-v^k}=frac{s_{_{kn}}}{a_k} ag{1-58} ]

    II、期末付年金

    设一年结转(k)次利息,每次利息结转周期的实际利息率为(j),每年年末支付1元,共支付(n)年。

    (a_n(k))为该年金现值,(s_n(k))为该年金终值,则:

    [a_n(k)=v^k+v^{2k}+dots+v^{nk}=frac{v^k(1-v^{kn})}{1-v^k}=frac{a_{_{kn}}}{s_k} ag{1-59} ]

    [s_n(k)=(1+i)^{kn} imes a_n(k)=frac{v^k[(1+i)^{kn}-1]}{1-v^k}=frac{s_{_{kn}}}{s_k} ag{1-60} ]

    【例1.22】某人向银行贷款20000元,年利率5%,期限为10年。约定每年年初还款,每年结转4次利息,求每年还款额。

    解、 ((1+j)^4=1.05Leftrightarrow j=0.012272234)

        (X imesddot{a}_{10|0.012272234}(4)=20000Leftrightarrow X imesfrac{ddot{a}_{4|0.012272234}}{ddot{a}_{40|0.012272234}}=2467)(元/年)

    实例代码(例1.22):

    webTJ.clear();
    var A=webActuary.getKIFA(10,4,0.012272243,0); //期初每年4次付年金现值
    webTJ.display("每每年还款额:"+20000/A,0);
    

    四、连续年金的现值和终值

    支付频率无限大(即连续支付,在一般年金中,令(m ightarrowinfty))的年金称为连续年金。设连续支付(n)个计息期,每个计息期的支付额为1的年金现值为(ar{a}_n),终值为(ar{s}_n),则:

    [ar{a}_n=lim_{m oinfty}ddot{a}_n^{(m)}=frac{1-v^n}{d^{(m)}}=frac{1-v^n}{delta} ag{1-61} ]

    [ar{s}_n=lim_{m oinfty}ddot{s}_n^{(m)}=frac{(1+i)^n-1}{d^{(m)}}=frac{(1+i)^n-1}{delta} ag{1-62} ]

    五、永续年金的现值

    支付次数没有限制,永远持续的年金称为永续年金。如股票中不能赎回的优先股,其固定红利的付给就是永续年金的形式。由于支付没有终点时刻,永续年金的终值不存在。当(n ightarrowinfty)时,每年支付1元的永续年金现值为:

    [ddot{a}_{infty}=lim_{m oinfty}ddot{a}_n=lim_{m oinfty}frac{1-v^n}{d}=frac{1}{d} ag{1-63} ]

    [a_{infty}=lim_{m oinfty}a_n=lim_{m oinfty}frac{1-v^n}{i}=frac{1}{i} ag{1-64} ]

    [ddot{a}_{infty}^{(m)}=lim_{m oinfty}ddot{a}_n^{(m)}=lim_{m oinfty}frac{1-v^n}{d^{(m)}}=frac{1}{d^{(m)}} ag{1-65} ]

    [a_{infty}^{(m)}=lim_{m oinfty}a_n^{(m)}=lim_{m oinfty}frac{1-v^n}{i^{(m)}}=frac{1}{i^{(m)}} ag{1-66} ]

    六、确定年金类函数索引和计算表

    基本年金现值

    函数:webActuary.getIFA(t,p,k);
    公式:(1-30) - 期初、(1-33) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    基本年金终值

    函数:webActuary.getIFS(t,p,k);
    公式:(1-31) - 期初、(1-34) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    基本年金计算表(确定型年金计算表I)
    金额    利率    期限    期初期末  

    注:设置参数后,点击“运 行”按钮,获得1到指定期限现值和终值。

    延期付年金现值

    函数:webActuary.getMIFA(t,p,m,k);
    公式:(1-38) - 期初、(1-39) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;m - 延期;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    延期付年金终值

    函数:webActuary.getMIFS(t,p,m,k);
    公式:(1-38a) - 期初、(1-39a) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;m - 延期;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    延期年金计算表(确定型年金计算表II)
    金额    利率    期限    延期    期初期末  

    注:设置参数后,点击“运 行”按钮,获得1到指定期限现值和终值。

    递增型年金现值

    函数:webActuary.getIIFA(t,p,k);
    公式:(1-41) - 期初、(1-43) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    递增型年金终值

    函数:webActuary.getIIFS(t,p,k);
    公式:(1-42) - 期初、(1-44) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    递增型年金计算表(确定型年金计算表III)
    金额    利率    期限    期初期末  

    注:设置参数后,点击“运 行”按钮,获得1到指定期限现值和终值。

    递减型年金现值

    函数:webActuary.getDIFA(t,p,k);
    公式:(1-45) - 期初、(1-47) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    递减型年金终值

    函数:webActuary.getDIFS(t,p,k);
    公式:(1-46) - 期初、(1-48) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    递减型年金计算表(确定型年金计算表IV)
    金额    利率    期限    期初期末  

    注:设置参数后,点击“运 行”按钮,获得1到指定期限现值和终值。

    等比递增(减)型年金现值

    函数:webActuary.getRIFA(t,p,q,k);
    公式:(1-48a) - 期初、(1-48c) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;q - 收付额递增(减)比例;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    等比递增(减)型年金终值

    函数:webActuary.getRIFS(t,p,q,k);
    公式:(1-48b) - 期初、(1-48d) - 期末
    参数:t - 给付时间;p - 利率;q - 收付额递增(减)比例;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    等比递增(减)型年金计算表(确定型年金计算表V)
    金额    利率    期限    增加比例    期初期末  

    注:设置参数后,点击“运 行”按钮,获得1到指定期限现值和终值(注意,参数中利率$ ot=$增加比例)。

    一年多次支付年金现值

    函数:webActuary.getGIFA(t,m,p,k);
    公式:(1-49) - 期初、(1-51) - 期末
    参数:t - 给付时间;m - 一年支付次数;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    一年多次支付年金终值

    函数:webActuary.getGIFS(t,m,p,k);
    公式:(1-52) - 期初、(1-53) - 期末
    参数:t - 给付时间;m - 一年支付次数;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    一年多次支付年金计算表(确定型年金计算表VI)
    金额    利率    期限    支付次数    期初期末  

    注:设置参数后,点击“运 行”按钮,获得1到指定期限现值和终值。

    一年多次结转年金现值

    函数:webActuary.getKIFA(t,m,p,k);
    公式:(1-57) - 期初、(1-59) - 期末
    参数:t - 给付时间;m - 一年结转次数;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    一年多次结转年金终值

    函数:webActuary.getKIFS(t,m,p,k);
    公式:(1-58) - 期初、(1-60) - 期末
    参数:t - 给付时间;m - 一年结转次数;p - 利率;k - 期初k = 0、期末k = 1
    

    一年多次结转年金计算表(确定型年金计算表VII)
    金额    利率    期限    结转次数    期初期末  

    注:设置参数后,点击“运 行”按钮,获得1到指定期限现值和终值。

    七、寿险精算代码窗口


    代码窗口 注:可将例题实例代码复制、粘贴到“代码窗口”,点击“运行代码”获得计算结果(鼠标选择实例代码$ ightarrow$Ctrl+C:复制$ ightarrow$鼠标点击“代码窗口”使其获得焦点$ ightarrow$Ctrl+V:粘贴)

    代码运行效果

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