Tour UVa 1347 (DAG)

本题难在设置状态表示。

题目要求先从左到右，再从右到左沿x轴方向经历坐标系上的点（1~n点），可以考虑成两条路径，分别从最左到最右，分别经历不同点且不能重合（除了起点和终点）。可以想到用$d(i,j)$表示一条路走到了$i$，一条路走到了$j$。因为两条路加起来要cover路径上所有点，所以$d(i,j)$可以表示$max(i,j)$和之前的点已经全被走过，还需走多远才能满足条件。因为两条路没有优劣，所以$d(i,j)==d(j,i)$，为了方便操作，可以规定要求$i>j$。可以用例子来理解：第一个人走到2，第二个人就只能停在1了，第一个人走到3，第一个人可以走到1或者2，第一个人走到4，第一个人可以走到1，2，3，始终让$i>j$可以满足结构的清晰。也就是说，$i$决定自己已经走到了最远的地方，而此时$j$停留在哪个地方，来保证$i$及以前的地方全部都被走过（可以理解为$j$给$i$擦屁股）。当$i$到达n时，$j$可以在路上$(1 ~ n-1)$中任何点，因为它走的是$i$走剩的点，所以$d(n,j)=0$。而状态方程可以写为：$d(i,j)=min[d(i+1,j)+dist(i,i+1),d(i+1,i)+dis(j,i+1)]$，其中$dist(a,b)$表示$a,b$之间的距离。

边界条件：当$i$到达n时，$j$可以在路上$(1 ~ n-1)$中任何点，因为它走的是$i$走剩的点，所以$d(n,j)=0$。（这个边界条件是错误的，因为两条路径最终都要到最右端），我们可以理解$d(n,j)=dist(j,n)$,和上面的状态方程结合起来，可以得到$d(n-1,j)=dist(n-1,n)+dist(j,n)$（刘汝佳）（我觉得还是分开来看来处理边界条件比较方便）。起始的时候，因为规定了$i>j$，所以只能写$$d(2,1)$，然后加上1走到2的距离就是总距离了。

代码如下：

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//  main.cpp
//  Tour
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//

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

struct coord{
    int x,y;
};

int n;//number of points
coord nodes[105]; //假设最多100个点,UVa官网貌似没给大小
double d[105][105];
bool visited[105][105];
double ans;


double dis(int a, int b){
    return sqrt((nodes[a].x-nodes[b].x)*(nodes[a].x-nodes[b].x)+(nodes[a].y-nodes[b].y)*(nodes[a].y-nodes[b].y));
}

double dp(int a, int b){
    if(visited[a][b]==true){
        return d[a][b];
    }
    visited[a][b] = true;
    if(a==n){
        d[a][b] = dis(b,n);
        return d[a][b];//终点条件
    }
    d[a][b] = min(dp(a+1,b)+dis(a,a+1),dp(a+1,a)+dis(b,a+1));
    return d[a][b];
}

int main(){
    //原题用freopen,读取文件
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        memset(d,0x3f,sizeof(d));
        memset(visited,0,sizeof(visited));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>nodes[i].x>>nodes[i].y;
        }
        dp(2,1);
        ans = d[2][1] + dis(1,2);
        printf("%.2lf
",ans);
    }
    
    return 0;
}

 相同问题：OJ 440