排列组合 ——插隔板

                         排列组合

——插隔板

I.n个相同小球分成m部分，每部分可以没有球。

在n+(m-1)个数中选择(m-1)次数作为隔板，其它的数作为小球。Count=C(n+m-1,m-1)。

 

II.n个相同的小球分成m部分，每部分至少有1个小球。

每个在相邻小球的中间，有n-1个隔板，从n-1个隔板中选取m-1个隔板，从而分成m部分。

Count=C(n-1,m-1)。

 

也可以认为：是提前从每部分提取1个小球，n个小球变为n-m个小球。可看成是把n-m个小球分成m部分，每部分可以没有球;然后把1个小球加入每部分，使每部分至少有一个球。

Count=C((n-m)+m-1,m-1)=C(n-1,m-1)

 

III. n个相同的小球分成m部分，每部分至少有k个小球。

与2同理，提前从每部分提取k个小球，n个小球变为n-m*k个小球。可看成是把n-m*k个小球分成m部分，每部分可以没有球;然后把k个小球加入每部分，使每部分至少有k个球。

Count=C((n-m*k)+m-1,m-1)=C(n-m*(k-1)-1,m-1)

 

当k=1，即变为情况II

 

IV.有n个座位依次从左到右排列，m个人选择座位，无其它要求。

第1个人有n种选择，第2个人有n-1种选择，……，第m个人有n-m+1中选择。

Count=P(n,m)

 

V. 有n个座位依次从左到右排列，m个人选择座位，任意两个人不能相邻。

把m个(人+座位)插入n-m个空座位的左右两旁，第1个人有n-m+1种选择，第2个人有n-m种选择，……，第m个人有n-m+1-(m-1)中选择。

 

也可以认为：提前提取m-1个座位，n个座位变为n-m+1个座位。可看成有n-m+1个座位依次从左到右排列，m个人选择座位，无其它要求;然后把1个座位加入所有相邻(指的不是座位相邻，而是指一个人向左/向右看第一个看到的人)的两个人的中间(m-1个座位)，使任意两个人能相邻。

Count=P(n-m+1,m)

 

VI. 有n个座位依次从左到右排列，m个人选择座位，任意两个人之间至少有k个空位。

提前提取(m-1)*k个座位，n个座位变为n-(m-1)*k个座位。可看成有n-(m-1)*k个座位依次从左到右排列，m个人选择座位，无其它要求; 然后把k个座位加入所有相邻(指的不是座位相邻，而是指一个人向左/向右看第一个看到的人)的两个人的中间((m-1)*k个座位)，使任意两个人之间至少有k个空位。

Count=P(n-(m-1)*k,m)

当k=1，即变为情况V

 

VII.有n个座位形成圆圈，m个人选择座位，无其它要求。

第1个人有n种选择，第2个人有n-1种选择，……，第m个人有n-m+1中选择。如果不考虑圆的位置编号，则一个状态顺时针旋转k位(k=0,1,…,n-1)，状态都相同，结果在原来基础上除以n。

考虑圆的位置编号：P(n,m)

不考虑圆的位置编号：P(n,m)/n

 

证明P(n,m)/n是正数：

n-k必能整除(n,k)【括号指的是两个数的最大公约数】，若(n,k)<>1, n能被数k(1<=k<=n)所约分【即n=n/(n,k)】，那么n能用n-k代替【即(n-k)= (n-k)/(n,k)】,最终(n,m)必是n的倍数。

 

VIII.有n个座位形成圆圈，m个人选择座位，任意两个人不能相邻。

            To  

考虑圆的位置编号：

定义一个人A所坐的座位编号为1，然后座位编号按照顺时针的方向从1到n递增，编号为n的座位与编号为1的座位连接起来。

在编号为1的座位的和编号为n的座位中间切一刀，变成编号为1,2,…,n的一排座位。其中第n个位置不能坐人，第2个位置不能坐人，因为任意两个人不能相邻，而第1个位置座位有人坐。

题目转变成n-3个座位，依次从左到右排列，m-1个人选择座位，任意两个人不能相邻。

Count₁=P(n'-m'+1,m')=P((n-3)-(m-1)+1,m-1)=P(n-m-1,m-1)

而A的编号可以为1,2,…,n，

Count₂=n*P(n-m-1,m-1)

 

不考虑圆的位置编号：

即不考虑什么人坐编号为多少的位置，只考虑人之间的相对关系，如一个人的左边/右边是谁

m个人的位置顺时针旋转k位(k=0,1,2,…,n-1)【即第1个人的位置变为原来第(1+k)个人的位置，第2个人的位置变为第(2+k)个人的位置，依次类推】，有m种方案，但这里只看成1种方案，所以要除以m

Count₃=n*P(n-m-1,m-1)/m

 

IX.有n个座位形成圆圈，m个人选择座位，任意两个人之间至少有k个空位。

考虑圆的位置编号：

定义一个人A所坐的座位编号为1，然后座位编号按照顺时针的方向从1到n递增，编号为n的座位与编号为1的座位连接起来。

在编号为1的座位的和编号为n的座位中间切一刀，变成编号为1,2,…,n的一排座位。其中第n个~第n-k+1个位置不能坐人，第2个~第k+1位置不能坐人，因为任意两个人之间至少有k个空位，而第1个位置座位有人坐。

题目转变成n-k*2-1个座位，依次从左到右排列，m-1个人选择座位，任意两个人之间至少有k个空位。

Count=P(n'-(m'-1)*k,m')=P((n-k*2-1)-((m-1)-1)*k,m-1)=P(n-m*k-1,m-1)

而A的编号可以为1,2,…,n，

Count₂=n*P(n-m*k-1,m-1)

 

不考虑圆的位置编号：

即不考虑什么人坐编号为多少的位置，只考虑人之间的相对关系，如一个人的左边/右边是谁

m个人的位置顺时针旋转k位(k=0,1,2,…,n-1)【即第1个人的位置变为原来第(1+k)个人的位置，第2个人的位置变为第(2+k)个人的位置，依次类推】，有m种方案，但这里只看成1种方案，所以要除以m

Count₃=n*P(n-m*k-1,m-1)/m

当k=1，即变为情况VIII。