[LeetCode] 300. Longest Increasing Subsequence

Given an integer array nums, return the length of the longest strictly increasing subsequence.

A subsequence is a sequence that can be derived from an array by deleting some or no elements without changing the order of the remaining elements. For example, [3,6,2,7] is a subsequence of the array [0,3,1,6,2,2,7].

Example 1:

Input: nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
Output: 4
Explanation: The longest increasing subsequence is [2,3,7,101], therefore the length is 4.

Example 2:

Input: nums = [0,1,0,3,2,3]
Output: 4

Example 3:

Input: nums = [7,7,7,7,7,7,7]
Output: 1

Constraints:

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

Follow up: Can you come up with an algorithm that runs in O(n log(n)) time complexity?

最长上升子序列。

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence
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注意子序列 subsequence 和子串 substring 的不同，子序列 subsequence 是可以断开的，只要相对顺序是上升的即可。这个题有两种做法，一是动态规划，一是动态规划基础上的二分。Longest Increasing Subsequence (LIS) 也是一类常考的题型，我总结在这个tag里了。

首先是动态规划。设 dp[i] 是以 nums[i] 为结尾的子序列的最大长度。首先初始化的时候，dp 数组的每一个元素都是 1，因为如果以当前元素为结尾，不看其他元素的话，子序列最大长度就是 1。

更新 DP 数组的方法是用双指针，用一个指针 i 去遍历 input 的时候，同时设置另一个指针 j 扫描 j - i 的范围，如果在 j - i 的范围中有数字 nums[j] < nums[i]，则 dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)

最后要找的结果是 DP 数组中的最大值。动图帮助理解。

时间O(n^2)

空间O(n)

Java实现

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int max = 0;
        int[] dp = new int[nums.length];
        // 初始化为1，因为每个以nums[i]结尾的子数组的长度都起码是1
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }
        return max;
    }
}

DP基础上的二分法。创建一个和 input 等长的 input 数组 DP，这个 DP 数组是我们维护的一个 tails 列表，其中每个元素 tails[k] 的值代表长度为 K + 1 的子序列尾部元素的值。

把第一个数字放入 DP 数组，从第二个数字开始，用二分法去找到这个数字应该被放入的位置。这里的DP数组记录的是实打实的数字，注意最后DP数组中的结果可能并不一定是一个正确的子序列，但是长度是对的。

遍历input，

• 如果遇到的数字比 DP 数组里面最大的数字还要大，就加到DP数组的末端，这也是唯一扩大 DP 数组 size 的办法
• 如果遇到的数字小于 DP 数组中的最大数字，则需要将这个数字通过二分法的方式放到 DP 数组中他该存在的位置，但是只能替换，而不是插入。
  • 举个例子，如果你现在有数组[1, 3, 5]，当你遇到一个4的时候，你只有通过把5替换成4，才有可能将数组的最大值变小，从而有机会在数组的最后加入更多的值

时间O(nlogn)

空间O(n)

Java实现

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        int len = 0;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            int pos = binarySearch(dp, len, nums[i]);
            if (nums[i] < dp[pos]) {
                dp[pos] = nums[i];
            }
            if (pos > len) {
                len = pos;
                dp[len] = nums[i];
            }
        }
        return len + 1;
    }
    
    private int binarySearch(int[] dp, int len, int val) {
        int left = 0;
        int right = len;
        while (left + 1 < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (dp[mid] == val) {
                return mid;
            } else if (dp[mid] < val) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        if (dp[right] < val) {
            return len + 1;
        } else if (dp[left] >= val) {
            return left;
        } else {
            return right;
        }
    }
}

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