[LeetCode] 368. Largest Divisible Subset

Given a set of distinct positive integers, find the largest subset such that every pair (Si, Sj) of elements in this subset satisfies:

Si % Sj = 0 or Sj % Si = 0.

If there are multiple solutions, return any subset is fine.

Example 1:

Input: [1,2,3]
Output: [1,2] (of course, [1,3] will also be ok)

Example 2:

Input: [1,2,4,8]
Output: [1,2,4,8]

最大整除子集。题意是给一个整数数组，请你找出最长的一个子串，子串满足任意两个数之间可以互相整除，即任意两个数之间互相整除的时候余数为0。比如两个数A和B好了，A%B = 0或者B%A = 0都可以满足题意。

思路是DP动态规划。这个题的思路跟300题很像，但是这个题是可以对input的排序的。首先，两个不同的数字A和B，既然不同，那么一定一大一小，那么一定意味着小的除以大的的余数一定不为0。题目既然规定了A%B = 0或者B%A = 0都可以满足题意，我们可以先将input从小到大排序。这样扫描数组的时候可以从当前位置往前看，看当前数字nums[i]是否可以整除比他小的数字。

接着创建一个数组 count[i]，记录的是以 nums[i] 结尾的，最大的满足题意的子集大小。这个数组 count[i] 初始化的时候每个位置都是1，因为每个数字除以他本身的余数都为0。接着会用到两个for loop，一个是遍历nums数组，一个是将 nums[i] 去跟比他自己小的所有的数字都去做一下除法，看看有多少数字能跟 nums[i] 相除 == 0。此时 count[i] 数组会被改写。

接着再次扫描 count[i] 数组，找出最大值maxIndex，这个变量表示的是集合的最大长度的下标在什么地方。这个最大值是最长的子串的长度。同时找到的最大值背后的 nums[maxIndex] ，也是这个子串的最后一个元素。

最后一步是从 nums[maxIndex] 开始往前按照一个虚拟的path扫描，如果遇到任何一个数字能被 nums[maxIndex] 整除，则把这个数字加入结果集。什么叫做path呢？比如我们给一个例子[4, 8, 10, 240]。我们能找到最大值是240，而且maxIndex会从240的下标3开始往前走，如果什么都不做，就会直接判断下一个数字10。10就比较tricky了，他可以被240整除但是他其实是不在最后的结果集里面的。我们必须额外去记录每当一个数字符合条件被加入结果集之后，curCount要--，这样只有跟 count[i] 能对应的上的curCount背后的数字才是这一个子集里面的数字。

时间O(n^2)

sort - O(nlogn)

扫描，写入count[i]的值 - O(n^2)

空间O(n)

Java实现

class Solution {
    public List<Integer> largestDivisibleSubset(int[] nums) {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        int n = nums.length;
        // corner case
        if (n == 0) {
            return res;
        }

        // normal case
        Arrays.sort(nums);
        // 以nums[i]结尾的，最大的满足题意的子集大小
        int[] count = new int[nums.length];
        Arrays.fill(count, 1);
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                if (nums[i] % nums[j] == 0) {
                    count[i] = Math.max(count[i], count[j] + 1);
                }
            }
        }

        // 集合的最大长度在什么地方
        int maxIndex = 0;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            maxIndex = count[i] > count[maxIndex] ? i : maxIndex;
        }

        // temp是子集里面最大的数字
        int temp = nums[maxIndex];
        // curCount是子集的size
        int curCount = count[maxIndex];
        for (int i = maxIndex; i >= 0; i--) {
            if (temp % nums[i] == 0 && count[i] == curCount) {
                res.add(nums[i]);
                temp = nums[i];
                curCount--;
            }
        }
        return res;
    }
}

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