[LeetCode] 421. Maximum XOR of Two Numbers in an Array

Given an integer array nums, return the maximum result of nums[i] XOR nums[j], where 0 ≤ i ≤ j < n.

Follow up: Could you do this in O(n) runtime?

Example 1:

Input: nums = [3,10,5,25,2,8]
Output: 28
Explanation: The maximum result is 5 XOR 25 = 28.

Example 2:

Input: nums = [0]
Output: 0

Example 3:

Input: nums = [2,4]
Output: 6

Example 4:

Input: nums = [8,10,2]
Output: 10

Example 5:

Input: nums = [14,70,53,83,49,91,36,80,92,51,66,70]
Output: 127 

Constraints:

• 1 <= nums.length <= 2 * 104
• 0 <= nums[i] <= 231 - 1

数组中两个数的最大异或值。题意是给一个数组，请输出其中两个数字异或的最大值。

我这里提供一个位运算的做法，大部分内容参考了这个帖子。首先复习一下异或XOR的运算规则：两个二进制的数字，同一个位置上的数字不同，XOR为1；数字相同的时候，XOR为0。所以这里如果要找XOR最大的结果，最好能找到两个数字，他们的二进制表达最好在每一位上都不同。而且XOR是具有交换律的，如果你有a ^ b = c，你同时可以得到a ^ c = b和b ^ c = a。假如a和b是来自于nums的数字的话，我们为了要使c最大，我们可以试图去找一个前缀很大的数字a和一个前缀很小的数字b，这样他们做XOR运算的时候才有可能使c的前缀更大。

这里我们创建一个mask去判断每个二进制数字的前缀。mask是由10000...000到11111...111（32位）。随着mask的变大，比如从10000到11111（我这里暂时用5位表示），如果nums里面的数字跟mask比较的时候，他们的前缀里面也包含1的话，在做AND运算的时候，会得到这些前缀。此时我们在找前缀的同时，把这些前缀存到一个hashset里。每一个mask都会与input数组里面的每一个数字做AND运算，得到一个前缀，set里最终留下的是所有unique的前缀。

此时再创建一个mask叫做temp，也是从1 - 31逐渐增加1的个数。这里我理解temp就是在猜最后XOR的结果，然后往回套，看hashset是否存在两个数字a和b满足a ^ b = temp。判断的方式是对于hashset里面的某个元素a，如果满足a ^ temp = b，同时b也在hashset中，则表明找到了一个有效的temp。

时间O(n)

空间O(n)

Java实现

class Solution {
    // 先确定高位，再确定低位（有点贪心算法的意思），才能保证这道题的最大性质
    // 一位接着一位去确定这个数位的大小
    // 利用性质： a ^ b = c ，则 a ^ c = b，且 b ^ c = a
    public int findMaximumXOR(int[] nums) {
        int res = 0;
        int mask = 0;
        for (int i = 31; i >= 0; i--) {
            // 注意点1：注意保留前缀的方法，mask 是这样得来的
            // 用异或也是可以的 mask = mask ^ (1 << i);
            mask = mask | (1 << i);
            // System.out.println("mask is " + Integer.toBinaryString(mask));
            Set<Integer> set = new HashSet<>();
            for (int num : nums) {
                // 注意点2：这里使用 & ，保留前缀的意思（从高位到低位）
                set.add(num & mask);
            }

            // 这里先假定第 n 位为 1 ，前 n-1 位 res 为之前迭代求得
            int temp = res | (1 << i);
            System.out.println("temp is " + Integer.toBinaryString(temp));
            for (Integer prefix : set) {
                if (set.contains(prefix ^ temp)) {
                    res = temp;
                    break;
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

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