[LeetCode] 673. Number of Longest Increasing Subsequence

Given an integer array nums, return the number of longest increasing subsequences. 

Example 1:

Input: nums = [1,3,5,4,7]
Output: 2
Explanation: The two longest increasing subsequences are [1, 3, 4, 7] and [1, 3, 5, 7].

Example 2:

Input: nums = [2,2,2,2,2]
Output: 5
Explanation: The length of longest continuous increasing subsequence is 1, and there are 5 subsequences' length is 1, so output 5.

Constraints:

• 1 <= nums.length <= 2000
• -106 <= nums[i] <= 106

最长递增子序列的个数。题意不难理解，思路还是动态规划。

做这个题之前建议先熟悉一下300题的动态规划的做法。对于这道题，我们需要两个额外数组来记录一些信息，长度都和input数组一样，一个是DP数组，表示以 nums[i] 结尾的最长递增子数组的长度；一个是counter数组，表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的数量。其中DP数组的初始化和更新方法和300题类似。对于在0 - i 之间的某个下标 j 而言，如果nums[j] < nums[i] 那么dp[i] 肯定可以被更新成dp[j] + 1；但是 counter[i] 怎么更新呢？注意因为counter[i] 的定义是以 nums[i] 为结尾的最长子序列的个数，因为nums[i] > nums[j] 所以如果把nums[i] 加到一个以 nums[j] 为结尾的递增子序列上，这个新的子序列一定也能维持递增，所以counter[i] = counter[j]。

但是如果dp[j] + 1 == dp[i]，意思是如果以 nums[j] 结尾的子序列的长度 + 1 = 以 nums[i] 为结尾的子序列的长度的话，counter[i] 的数量要 += counter[j]。举个例子，比如现在有一个以5结尾的子数组，他的长度是x，现在又发现一个以4为结尾的子数组，他的长度是x - 1的话，这样后者就能插入前者，使得以5为结尾的子数组的个数 = x + x - 1。最后记录一个变量max，记录全局范围内最大的DP值。

再次遍历DP数组，如果dp[i] = max，则把 counter[i] 累加到结果里面。因为 dp[i] 是最长的递增子序列的长度，所以 counter[i] 是这个最长长度子序列的个数。

时间O(n^2)

空间O(n)

Java实现

class Solution {
    public int findNumberOfLIS(int[] nums) {
        // corner case
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        // normal case
        int n = nums.length;
        // 以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
        int[] dp = new int[n];
        // 以nums[i]结尾的最长递增子序列的数量
        int[] counter = new int[n];
        Arrays.fill(dp, 1);
        Arrays.fill(counter, 1);
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
                        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                        counter[i] = counter[j];
                    } else if (dp[j] + 1 == dp[i]) {
                        counter[i] += counter[j];
                    }
                }
            }
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (dp[i] == max) {
                res += counter[i];
            }
        }
        return res;
    }
}

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