[LeetCode] 89. Gray Code

An n-bit gray code sequence is a sequence of 2n integers where:

• Every integer is in the inclusive range [0, 2n - 1],
• The first integer is 0,
• An integer appears no more than once in the sequence,
• The binary representation of every pair of adjacent integers differs by exactly one bit, and
• The binary representation of the first and last integers differs by exactly one bit.

Given an integer n, return any valid n-bit gray code sequence. 

Example 1:

Input: n = 2
Output: [0,1,3,2]
Explanation:
The binary representation of [0,1,3,2] is [00,01,11,10].
- 00 and 01 differ by one bit
- 01 and 11 differ by one bit
- 11 and 10 differ by one bit
- 10 and 00 differ by one bit
[0,2,3,1] is also a valid gray code sequence, whose binary representation is [00,10,11,01].
- 00 and 10 differ by one bit
- 10 and 11 differ by one bit
- 11 and 01 differ by one bit
- 01 and 00 differ by one bit

Example 2:

Input: n = 1
Output: [0,1]

Constraints:

• 1 <= n <= 16

格雷编码。

格雷编码是一个二进制数字系统，在该系统中，两个连续的数值仅有一个位数的差异。

给定一个代表编码总位数的非负整数 n，打印其格雷编码序列。即使有多个不同答案，你也只需要返回其中一种。

格雷编码序列必须以 0 开头。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/gray-code
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这是一道二进制数字的题目，如果你知道格雷编码的公式那么会很简单，但是我这里给出一个动态规划的思路。这个思路可以在你不知道格雷编码公式的情况下也可以解决这道题。

题意中的格雷编码的定义是一个二进制数字系统，在该系统中，两个连续的数值仅有一个位数的差异。比如例子中给的

输入: 2
输出: [0,1,3,2]
解释:
00 - 0
01 - 1
11 - 3
10 - 2

对于给定的 n，其格雷编码序列并不唯一。
例如，[0,2,3,1] 也是一个有效的格雷编码序列。

00 - 0
10 - 2
11 - 3
01 - 1

这里我给一个总结的很好的图示，数字 n - 1 的格雷编码可以作为数字 n 的格雷编码的一部分，同时数字 n - 1 的格雷编码的个数为 2^(n-1) 个，同时这前 2^(n-1) 个格雷编码是前一个数字的格雷编码每一个数字在最高位加一个 0，所以等同于没有加；接下来要找到数字 n 的格雷编码只需要再找到 2^(n-1) 个即可。这后半 2^(n-1) 个格雷编码，是把最高位加了一个 0 的那些数字全都改成 1，这样后半部分的数字和前半部分的数字依然只相差最高位那一位。

时间O(1)

空间O(n)

Java实现

class Solution {
    private List<List<Integer>> dp;

    public List<Integer> grayCode(int n) {
        dp = new ArrayList<>(n + 1);
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp.add(new ArrayList<>(1 << i));
        }
        // 1. dp初始状态，即把数字0的格雷码先加入dp中
        dp.get(0).add(0);
        // 2. dp递推过程，通过循环依次计算数字1, 2, 3, ..., n 的格雷码
        for (int num = 1; num <= n; num++) {
            // 数字num的格雷码的总个数 2^num
            int count = 1 << num;
            for (int i = 0; i < count; i++) {
                int value;
                if (i < count / 2) {
                    // 前半部分直接复制num - 1的格雷码
                    value = dp.get(num - 1).get(i);
                } else {
                    // 后半部分通过在首位添加1位1得到
                    int add = 1 << (num - 1);
                    value = dp.get(num).get(count - 1 - i) + add;
                }
                dp.get(num).add(value);
            }
        }
        return dp.get(n);
    }
}

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