莫比乌斯反演(理论)

莫比乌斯反演

直接上结论：

若有

[g(n)=sum_{d|n}f(n) ]

则有

[f(n)=sum_{d|n}mu(d) g(frac{n}{d}) ]

简而言之就是

若 (g=f*1) , 则有 (f=mu*g) ((“*”)为狄利克雷卷积)

若看懂了就可直接到文章末尾：莫比乌斯反演的另一种形式。

前置知识

零:([P])艾弗森括号

(P)为一命题:

([P]=egin{cases} 1 命题为真\ 0 命题为假 end{cases})

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一：数论函数

本文的函数都是指数论函数，其定义域为非负整数，值域为实数(一般为正整数).

(f(n), g(n)) 为数论函数, 定义其运算：

• (f(n) + g(n) = (f + g)(n))

• (x×f(n)=(x imes f)(n))

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二：狄利克雷卷积

定义狄利克雷卷积为 (“*”), (f*g) 叫这两个函数的卷积

[(f*g)(n)=sum_{d|n}{f(d) imes g(frac{n}{d})} ]

狄利克雷卷积的性质:

• 交换律( f*g=g*f)
• 结合律( (f*g)*h=f*(g*h))
• 分配律( (f+g)*h=f*h+g*h)
• 不知道什么律 ( x imes (f*g)=(x imes f)*g)

以上性质请自行证明.

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三：(1(n)) 与 (epsilon(n))

定义 (1(n)=1), 1是一个数论函数.

• 性质： ((f*1)(n)=sum_{d|n}f(d) imes 1(frac{n}{d})=sum_{d|n}f(d))

定义数论函数 (epsilon(n)=[n=1])

• 性质： ((epsilon * f)=f)
• 证明：
  ((epsilon * f)(n))

(=sum_{d|n}f(d) imesepsilon(frac{n}{d}))

当(n为1)时，显然成立.

当(n>1)时，

(=sum_{d|n,d e n}f(d) imes 0 + f(n) imes1)

(=f(n))

四：(mu(n))

定义莫比乌斯函数(mu=egin{cases}(-1)^t, n=p_1 imes p_2 ... p_t 且 p_i 互不相同\ 0, others end{cases})

定理：(mu * 1=epsilon)

证明：

((mu * 1)(n))

(=sum_{d|n}mu(d))

(n=1) 时显然成立,

(n>1) 时，(omega(n)) 为 n 质因子中互不相同的数的个数

(=sum_{i=0}^{omega(n)}C_{omega(n)}^{i} imes (-1)^i) （考虑贡献）

(=sum_{i=0}^{omega(n)}C_{omega(n)}^{i} imes (-1)^i imes (1)^{(omega(n)-i)})

由二项式定理：((a+b)^m=sum_{i=0}^{m}C_m^ia^ib^{(m-i)})

则原式(=(-1+1)^{omega(n)}=0), 证毕.

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至此，我们可以来证明了

若有

[g(n)=sum_{d|n}f(n) ]

则有

[f(n)=sum_{d|n}mu(d) g(frac{n}{d}) ]

证明：

即证明若 (g=f*1) , 则有 (f=mu*g)

将(g=f*1)带人，

(mu*g=mu*(f*1)=(1*mu)*(f)=epsilon * f=f)

证毕

莫比乌斯反演的另一种形式：

一：定义运算 (foplus g) :

[(foplus g)(x) = sum_{x = frac{j}{i}}f(i)g(j) ]

这里的除法不是整除！！！（保证 (j) 为 (i) 的倍数）

或者也可以写成：

[(foplus g)(x) = sum_{x|d}f(frac{d}{x})g(d) ]

注意这东西是没有交换律的。

(epsilon oplus f = f) (自己证明一下)

二：与狄利克雷卷积 (“ * ”) 的关系：

[(f*g)oplus h=foplus(goplus h) ]

证明：

[egin{aligned} ((f*g)oplus h)(m)&=sum_{m=frac{k}{d}}left(sum_{d=ij}f(i)g(j) ight)h(k)\ &=sum_{m=frac{k}{ij}}f(i)g(j)h(k)\ &=sum_{m=frac{left(frac{k}{j} ight)}{i}}f(i)left((goplus h)(frac{k}{j}) ight)\ &=(foplus(goplus h))(m) end{aligned} ]

三：反演

[f(x) = sum_{x|d}g(d) iff g(x) = sum_{x|d}mu(frac{d}{x})f(d) ]

有上面那个结论就很好证明了：

[egin{aligned} f &=1oplus g\ mu oplus f &=mu oplus (1oplus g)\ (mu *1)oplus g &=mu oplus f\ epsilon oplus g &=mu oplus f\ g &= mu oplus f end{aligned} ]

参考:(https://lx-2003.blog.luogu.org/mobius-inversion)