[HNOI2015]亚瑟王

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( ext{Solution:})

题目要我们求所有的卡牌期望伤害之和，即 (sum_limits{i=1}^nE(第 i 张牌的伤害)) ,

[egin{aligned} &sum_limits{i = 1}^nE(第i张牌的伤害)\ =&sum_limits{i = 1}^nP(第i张牌使用的概率)×d(i) end{aligned} ]

所以要求 (P(第i张牌使用的概率)) 。

(p(i)) 为第i张牌发动技能的概率，

发现 (P(1) = 1 - (1 - p(1))^r) , 但是由于每张牌使用一次就结束该轮，我们不是很好地能求出其它的概率，于是考虑递推概率。

设 (f[i, j]) 表示前 (i) 张牌已经出了 (j) 张牌的概率，

• (f[i, j] imes (1 - p[i + 1])^{r - j} ightarrow f[i + 1, j]) (第 (i+1) 张牌不发动技能)
• (f[i, j] imes (1 - (1 - p[i + 1])^{r - j}) ightarrow f[i + 1, j + 1]) (第 (i+1) 张牌发动技能)

[P(i)=sum_{j=0}^rf[i - 1, j] imes (1 - (1 - p[i])^{r - j}) ]

然后就做完了。

由于每张牌使用一次就结束该轮，使得我们不是很好地从回合数的角度设状态，而要从牌的角度上设，又因为 “如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之(考虑下一张卡牌)" ，所以要有一维 ”当 前用了多少牌" 这一状态。

#include <set>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define LL long long
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define GO debug("GO
")

inline int rint() {
    register int x = 0, f = 1; register char c;
    while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
    while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), isdigit(c = getchar()));
    return x * f;
}

template<typename T> inline void chkmin(T &a, T b) { a > b ? a = b : 0; }
template<typename T> inline void chkmax(T &a, T b) { a < b ? a = b : 0; }


const int N = 300;
//fp[i]即为P(i)
double fp[N], f[N][N], ans, p[N], d[N], powp[N][N];
int n, r;

void Init() {
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
        powp[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= r; ++ j)
            powp[i][j] = powp[i][j - 1] * (1 - p[i]);
    }
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("xhc.in", "r", stdin);
    freopen("xhc.out", "w", stdout);
#endif
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T --) {
        scanf("%d%d", &n, &r);
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
            scanf("%lf%lf", p + i, d + i);

        Init();
        memset(fp, 0, sizeof (fp));
        memset(f, 0, sizeof (f));

        f[1][0] = powp[1][r];
        f[1][1] = fp[1] = 1 - f[1][0];
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
            for (int j = 0; j <= r; ++ j) {
                fp[i] += f[i - 1][j] * (1 - powp[i][r - j]);
                f[i][j] += f[i - 1][j] * powp[i][r - j];
                if (j) 
                    f[i][j] += f[i - 1][j - 1] * (1 - powp[i][r - j + 1]);
            }
        }

        double ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
            ans += fp[i] * d[i];

        printf("%.10lf
", ans);
    }
}