微积分初步
注意：本文讨论的都是在讨论区域上连续的函数
一：导数
定义：一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率
(f(x)) 的导数记为 (f'(x))
我的理解是，一个函数的导数是它在一个极小的间隔 (dx) 内 (f(x)) 的变化量与间隔的比值, 即
[f'(x)=frac{dy}{dx}
]
复合函数求导法则(链式法则)：
[(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\
frac{df}{dx}=frac{df}{dg} imes frac{dg}{dx}
]
常见的函数的导数：
[egin{aligned}
& (C)'=0\
& (x^mu)' = mu x^{mu-1}\
& (e^x)'=e^x\
& (a^x)'= e^{ln a x} = (e^x)^{ln a} = ln a(e^{ln a - 1})e^x = e^xln a(frac{e^{ln ax}}{e^x}) = a^xln a\
& (log_{a}^x)' = frac{1}{xln a}\
& sin'(x)=cos(x)\
& cos'(x)=-sin(x)\
end{aligned}
]
综合练习：求 ((x^x)')
[egin{aligned}
&(x^x)'\
=&((e^{ln x})^x)'\
=&(e^{xlnx})'
end{aligned}
]
令 (f(x) = e^x, g(x) = xlnx),
[egin{aligned}
&(x^x)'\
=&f(g(x))\
=&f'(xlnx)(xlnx)'\
=&(e^{xlnx})(1cdot lnx + frac1xcdot x)\
=&(x^x)(1 + lnx)\
end{aligned}
]
二：微分
[egin{aligned}
d(f(x)) &= f'(x)cdot dx\
df &= frac{df}{dx}cdot dx
end{aligned}
]
一个函数的微分是指在一个极小的间隔 (dx) 函数值的变化量 (df) 。
三：积分
[int_a^b f(x)dx
]
可以理解为在 ({displaystyle extstyle Oxy}) 坐标平面上，由曲线 ({displaystyle (x,f(x))})、直线 ({displaystyle x=a,x=b}) 以及 ({displaystyle x}) 轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）---wiki百科
也可以认为是将 ([a, b]) 分割成很多份底面长度为 (dx) 的部分，然后对应矩形相乘相加。
其中 (int_a^b dx) 是积分符号，(f(x)) 是被积函数。
其中若 (F'(x) = f(x)) 则称 (F(x)+C) 为 (f(x)) 的原函数。
微积分基本定理：
[egin{aligned}
若有 F'(x) = f(x), 则int_a^bf(x)dx=F(b) - F(a)
end{aligned}]
证明:
[F(b) - F(a) = int_a^b dF = int_a^b frac{dF}{dx}dx = int_a^b F'(x)dx
]
然后就证完了。
所以积分与求导互为逆运算
例题：
一：
在一个长度为 (L) 的线段上随机选取两个点 (A, B) ，求这两点的期望距离 (E(|vec{AB}|)) 。
解：
设线段的两个端点为 ((0,0)) 与 ((L,0)).
[egin{aligned}
E(|vec{AB}|) = int_0^Lint_0^L(frac{dx}{L})cdot (frac{dy}{L})cdot |x - y|
end{aligned}
]
其中 ((frac{dx}{L})) 是 (A) 点在 ((x, 0)) 的概率，((frac{dy}{L})) 为 (B) 点在 ((y, 0)) 的概率。
由于 (x>y) 与 (y>x) 的情况各占一半,所以把式子写成这样：
[egin{aligned}
E(|vec{AB}|) &= frac2{L^2}[int_0^Lint_0^x(x - y)cdot dxcdot dy]\
&=frac2{L^2}[int_0^Lint_0^x(xcdot dx - ycdot dx)cdot dy]\
&=frac2{L^2}[int_0^L(xcdot dxcdot y - frac12 cdot dxcdot y^2)|_0^x]\
&=frac2{L^2}(int_0^Lfrac12 x^2dx)\
&=frac2{L^2}(frac16x^3)|_0^L\
&=frac2{L^2}(frac16L^3)\
&=frac L3
end{aligned}
]
在许多概率与期望的题中直接积分会简单很多。
未完待续(dots)