[agc003F]Fraction of Fractal

Description

传送门

 Solution

 本篇博客思路来自大佬的博客（侵删）。

我们定义如果网格的第一行和最后一行的第i列都为黑色，则它是一个上下界接口。左右界接口定义同上。

如果上下界接口和左右界接口都为0个，则答案为节点数^(k-1)。或者上下界接口和左右界接口都存在，则答案为1（就只有一个联通块了啊）。

将以上两种情况特判后，我们目前的网格要么只有上下界接口，要么只有左右界接口。我们只探讨前者。

对于k=2的分形（如果k<2特判就好），我们将1级分形看作一个节点（以下的点都是指1级分形，边同理），如果它与其他节点连通则视为将两个节点之间加一条边。

因为我们的网格只有上下界接口，所以2级分形事实上是由若干条链构成。以此类推，k级分形也是如此。

将链看成树，我们就可以运用森林的性质：树的个数等于总点数减去总边数。（这个性质是真的牛啊我自己完全想不到），即最后联通块的个数为总点数减去总边数。

考虑求总边数：

　　记原图中节点总数为all。

　　定义若a[i][j]与a[i+1][j]都为黑点则这是一个上下接口，（注意不是上下界接口），记其个数为usb。

　　记上下界接口个数为u。

　　设E_k为k级分形的边数。

　　　　边界E₂=usb   递推式为 Ek=E_k-1*all+usb*u^k-1

至于总点数（这里的点还是指1级分形）。。快速幂就好了。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
char ch[1010];
int a[1010][1010],h,w,up_down,left_right,cnt,usb;//cnt:黑点总数，usb：原图内总接口数 
long long _pow; 
ll ksm(ll x,long long k)
{
    ll ans=1;
    while (k)
    {
        if (k&1)ans=ans*x%mod;
        k>>=1;
        x=x*x%mod;
    }
    return ans;
}
struct Matrix
{
    ll t[4][4];
    friend Matrix operator *(Matrix x,Matrix y)
    {
        Matrix z;
        memset(z.t,0,sizeof(z.t));
        for (int i=0;i<2;i++) 
            for (int j=0;j<2;j++)
                for (int k=0;k<2;k++)
                    z.t[i][j]=(z.t[i][j]+x.t[i][k]*y.t[k][j])%mod;
        return z;
    }
    friend Matrix operator ^(Matrix x,long long k)
    {
        Matrix ans;
        memset(ans.t,0,sizeof(ans.t));
        ans.t[0][0]=ans.t[1][1]=1;
        while (k)
        {
            if (k&1) ans=ans*x;
            k>>=1;
            x=x*x;
        }
        return ans;
    }
}A,B;
int main()
{
    scanf("%d%d%lld",&h,&w,&_pow);
    if (_pow<=1) {printf("1");return 0;}
    for (int i=1;i<=h;i++)
    {
        scanf("%s",ch+1);
        for (int j=1;j<=w;j++) 
        {
            a[i][j]=(ch[j]=='#');
            if (a[i][j]) cnt++;
        }
    }    
    for (int i=1;i<=w;i++) 
        if (a[1][i]&&a[h][i]) up_down++;
    for (int i=1;i<=h;i++)
        if (a[i][1]&&a[i][w]) left_right++;
    if (!up_down&&!left_right)
    {
        printf("%lld",ksm(cnt,_pow-1));return 0;
    }
    if (up_down&&left_right) 
    {
        printf("1");return 0;
    }
    for (int i=1;i<=h;i++)
        for (int j=1;j<=w;j++)
        {
            if (a[i][j]&&a[i][j+1]&&left_right) usb++;
            if (a[i][j]&&a[i+1][j]&&up_down) usb++;
        }
    A.t[0][0]=cnt;A.t[0][1]=usb;A.t[1][1]=max(up_down,left_right);
    A=A^(_pow-2);
    ll ans;ans=A.t[0][0]*usb%mod+A.t[0][1]*max(up_down,left_right)%mod;
    ans%=mod;
    printf("%lld",(ksm(cnt,_pow-1)-ans+mod)%mod);
}