[2016北京集训试题8]连在一起的幻想乡[dp+无向图计数]

Description

Solution

本博客参考yww大佬的博客，为了加深理解我就自己再写一遍啦。

以下的“无向图”均无重边无自环。

定义f0[n]为n个点构成的无向图个数,f1[n]为n个点构成的无向图的总边数，f2[n]为所有(n个点构成的无向图的边数的平方)之和。

g0[n]为n个点构成的连通无向图个数,g1[n]为n个点构成的连通无向图的总边数，g2[n]为所有(n个点构成的连通无向图的边数的平方)之和。

设$m[i]=i*(i-1)/2$

每条边可以选或不选，所以$f0[i]=2^{m[i]}$

由于每条边会在$2^{m[i]-1}$个图中被选，$f1[i]=m[i]*2^{m[i]-1}$

求f2的公式要运用一个套路：枚举与1号点连通的边数j，则$f2[i]=sum_{j=0}^{i-1}*sum _{k=0}^{m[i]-j}*((j+k)^{2}$*(i-1个点的无向图边数为k的个数))

即$f2[i]=sum_{j=0}^{n-1}$*[(i-1个点无向图个数*j）的平方+2*j*(i-1个点无向图总边数)+所有(i-1个点构成的无向图的边数的平方)之和）

故$f2[i]=sum_{j=0}^{n-1}*inom{i-1}{j}*(f2[i-1]+2*j*f1[i-1]+j^{2}*f0[i-1])$。

我们枚举点1所在连通块点数，$g0[i]=f0[i]-sum _{j=1}^{i-1}*inom{i-1}{j-1}g0[j]*f0[i-j]$
$g1[i]=f1[i]-sum _{j=1}^{i-1}*inom{i-1}{j-1}(g0[j]*f1[i-j]+g1[j]*f0[i-j])$

$g2[i]=f2[i]-sum _{j=1}^{i-1}*inom{i-1}{j-1}(g0[j]*f2[i-j]+2*g1[j]*f1[i-j]+g2[j]*f0[i-j])$

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,mod;
ll C[2010][2010],m[2010],g0[2010],g1[2010],g2[2010],f0[2010],f1[2010],f2[2010];
ll ksm(ll x,ll k)
{ll re=1;if (k==-1) return 0;while (k){if (k&1)re=re*x%mod;k>>=1;x=x*x%mod;}return re;}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    for (int i=0;i<=n;i++) C[i][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    for (int i=1;i<=n;i++) m[i]=i*(i-1)/2;
    for (int i=1;i<=n;i++) f0[i]=ksm(2,m[i]),f1[i]=m[i]*ksm(2,m[i]-1)%mod;
    for (int i=1;i<=n;i++) 
        for (int j=0;j<i;j++) 
        f2[i]=(f2[i]+(f2[i-1]+2*j*f1[i-1]+j*j*f0[i-1])%mod*C[i-1][j]%mod+mod)%mod;
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        g0[i]=f0[i];g1[i]=f1[i];g2[i]=f2[i];
        for (int j=1;j<i;j++)
        {
            g0[i]=(g0[i]-C[i-1][j-1]*g0[j]%mod*f0[i-j]%mod+mod)%mod;
            g1[i]=(g1[i]-C[i-1][j-1]*((g0[j]*f1[i-j]+g1[j]*f0[i-j])%mod)%mod+mod)%mod;
            g2[i]=(g2[i]-C[i-1][j-1]*((g0[j]*f2[i-j]+2*g1[j]*f1[i-j]+g2[j]*f0[i-j])%mod)%mod+mod)%mod;
        }
    }
    printf("%lld",g2[n]);
}