Stanford机器学习---第五讲. 神经网络的学习 Neural Networks learning

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Stanford机器学习---第五讲. 神经网络的学习 Neural Networks learning

原文 http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7758797

本栏目（Machine learning）包括单参数的线性回归、多参数的线性回归、Octave Tutorial、Logistic Regression、Regularization、神经网络、机器学习系统设计、SVM（Support Vector Machines 支持向量机）、聚类、降维、异常检测、大规模机器学习等章节。所有内容均来自Standford公开课machine learning中Andrew老师的讲解。（https://class.coursera.org/ml/class/index）

第五讲——Neural Networks 神经网络的表示

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（一）、Cost function

（二）、Backpropagation algorithm

（三）、Backpropagation intuition

（四）、Implementation note: Unrolling parameters

（五）、Gradient checking

（六）、Random initialization

（七）、Putting it together

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（一）、Cost function

假设神经网络的训练样本有m个，每个包含一组输入x和一组输出信号y，L表示神经网络层数，S_l表示每层的neuron个数(SL表示输出层神经元个数)。

将神经网络的分类定义为两种情况：二类分类和多类分类，

卐二类分类：S_L=1, y=0 or 1表示哪一类；

卐K类分类：S_L=K, y_i= 1表示分到第i类；（K>2）

我们在前几章中已经知道，Logistic hypothesis的Cost Function如下定义：

其中，前半部分表示hypothesis与真实值之间的距离，后半部分为对参数进行regularization的bias项，神经网络的cost function同理：

hypothesis与真实值之间的距离为每个样本-每个类输出的加和，对参数进行regularization的bias项处理所有参数的平方和

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（二）、Backpropagation algorithm

前面我们已经讲了cost function的形式，下面我们需要的就是最小化J(Θ)

想要根据gradient descent的方法进行参数optimization，首先需要得到cost function和一些参数的表示。根据forward propagation,我们首先进行training dataset 在神经网络上的各层输出值：

我们定义神经网络的总误差为：
$E = frac{1}{2}sum_{i}{(y_i-a_i)^2}$ 希望通过调整权重参数W（也就是theta）来最小化E。由于 $Delta W propto -frac{partial E}{partial W}$ 所以每一层按如下方式进行更新： $Theta_{ij}^{(l)} = Theta_{ij}^{(l)}+DeltaTheta_{ij}^{(l)}=Theta_{ij}^{(l)}-alpha frac{partial E(Theta)}{partial Theta_{ij}^{(l)}}$ 根据backpropagation算法进行梯度的计算，这里引入了error变量δ，该残差表明了该节点对最终输出值的残差产生了多少影响。对于最后一层，我们可以直接算出网络产生的输出 $a_i^{(l)}$ 与实际值之间的差距，我们将这个差距定义为 $delta_{i}^{(l)}$ 。对于隐藏单元我们如何处理呢？我们将通过计算各层节点残差的加权平均值计算hidden layer的残差。读者可以自己验证下，其实 $delta_{i}^{(l)}$ 就是E对b求导的结果。在最后一层中， $delta_{i}^{(l)} = frac{partial E}{partial z_i^{(l)}}=frac{partial frac{1}{2}(y-a_i^{(l)})^2}{partial z_i^{(l)}}=frac{partial [frac{1}{2}(y-g(z_i^{(l)}))^2]}{partial z_i^{(l)}}= (a_i^{(l)}-y)cdot g{’}'(z_i^{(l)})$ 对于前面的每一层，都有 $delta_{i}^{(l)} = frac{partial E}{partial z_i^{(l)}}=sum_{j}^{N^{(l+1)}} frac{partial E}{partial z_j^{(l+1)}} cdot frac{partial z_j^{(l+1)}}{partial z_i^{(l)}}\ = sum_{j}^{N^{(l+1)}} delta_{j}^{(l+1)}cdot frac{partial [sum_{k}^{N^{l}}Theta_{jk}cdot g(z_k^{(l)})] }{partial z_i^{(l)}},iin k\ =sum_{j}^{N^{(l+1)}} (delta_{j}^{(l+1)}cdot Theta_{ji}) cdot g{'}(z_i)$ 由此得到第l层第i个节点的残差计算方法： $delta_{i}^{(l)} =sum_{j}^{N^{(l+1)}} (delta_{j}^{(l+1)}cdot Theta_{ji}) cdot g{'}(z_i)$ 由于我们的真实目的是计算 $frac{partial E(Theta)}{partial Theta_{ji}}$ ,且 $fn_cm frac{partial E}{partial Theta_{ji}^{l}} = frac{partial E}{partial z_i^{(l+1)}}cdot frac {partial z_i^{(l+1)}}{partial Theta_{ji}^{l}} =delta_i^{(l+1)}cdot a_j^{(l)}$ 所以我们可以得到神经网络中权重的update方程： $fn_cm Theta_{ji}^{l} = Theta_{ji}^{l}-alphacdot delta_i^{(l+1)}cdot a_j^{(l)}$ 不断迭代直到落入local optima,就是backpropagation的算法过程。 ============================================================Example of logistical cost: 下面我们针对logistical cost给出计算的例子：而对于每一层，其误差可以定义为： $Delta Theta_{k-1} = frac{partial E}{partial a_k}cdot frac{partial a_k}{partial z_k} cdot frac{partial z_k}{Theta _{k-1}}$
分别代入即得
$frac{partial E}{partial a_k} = a_k-y \ frac{partial a_k}{partial z_k} = frac{partial g(z_k))}{partial z_k} = frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2} = a_k(1-a_k)\ frac{partial z_k}{partial Theta _{k-1}} = a_{k-1}$ 由此得来 heta_{k}的update方程：

$Theta_{k} = xi (y-a_k)a_k(1-a_k)a_{k-1}$ 如果将误差对激励函数（activation function）的导数记做δ，则有： $delta_{k} = (y-a_k)a_k(1-a_k)$ $DeltaTheta_k = xi delta_k cdot a_{k-1}$ 对于前面一层 ,更新同理， $DeltaTheta_k = xi delta_k cdot a_{k-1}$ ，只是上一层Theta梯度的第一个分量E对a_k求导有所变化， $egin{align*} frac{partial E}{partial a_{j}}=sum_{k} frac{partial E}{partial a_k}cdot frac{partial a_k}{partial z_k}cdot frac{partial z_k}{partial a_{j}}\ = sum_{k}(y-a_k)cdot a_k(1-a_k)cdot Theta_j end{align*}$
但是 $DeltaTheta_k = xi delta_k cdot a_{k-1}$ 始终是不变的。
下图就是上面推导得出的结果：

由上图我们得到了error变量δ的计算，下面我们来看backpropagation算法的伪代码：

ps：最后一步之所以写+=而非直接赋值是把Δ看做了一个矩阵，每次在相应位置上做修改。

从后向前此计算每层依的δ，用Δ表示全局误差，每一层都对应一个Δ(l)。再引入D作为cost function对参数的求导结果。下图左边j是否等于0影响的是是否有最后的bias regularization项。左边是定义，右边可证明（比较繁琐）。

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（三）、Backpropagation intuition
上面讲了backpropagation算法的步骤以及一些公式，在这一小节中我们讲一下最简单的back-propagation模型是怎样learning的。
首先根据forward propagation方法从前往后计算z^(j),a^(j);

然后将原cost function 进行简化，去掉下图中后面那项regularization项，

那么对于输入的第i个样本(xi,yi)，有

Cost(i)=y⁽ⁱ⁾log(h_θ(x⁽ⁱ⁾))+(1- y⁽ⁱ⁾)log(1- h_θ(x⁽ⁱ⁾))

由上文可知，
$delta_k = frac{partial J(Theta)}{partial z_k} = frac{partial J(Theta)}{partial a_k}frac{partial a_k}{partial z_k} = Theta_{k}delta_{k+1}cdot g'(z_k) \ Delta w_{ij} = Delta w_{ij} + frac{partial J(Theta)}{partial w_{ij}} = Delta w_{ij} + a_j^l cdot delta_k^(l+1)\ frac{partial J(Theta)}{partial w_{ij}} = frac{partial J(Theta)}{partial z_k} cdot frac{partial z_k}{partial w_{ij}}$
其中J就是cost。那么将其进行简化，暂时不考虑g'(zk) = ak(1-ak)的部分，就有：

经过求导计算可得，对于上图有

换句话说, 对于每一层来说，δ分量都等于后面一层所有的δ加权和，其中权值就是参数Θ。

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(四)、Implementation note: Unrolling parameters

这一节讲述matlab中如何实现unrolling parameter。

前几章中已经讲过在matlab中利用梯度下降方法进行更新的根本，两个方程：

function [jVal, gradient] = costFunction(theta)

optTheta = fminunc(@costFunction, initialTheta, options)

与linear regression和logistic regression不同，在神经网络中，参数非常多，每一层j有一个参数向量Θj和Derivative向量Dj。那么我们首先将各层向量连起来，组成大vectorΘ和D，传入function，再在计算中进行下图中的reshape，分别取出进行计算。

计算时，方法如下：

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（五）、Gradient checking

神经网络中计算起来数字千变万化难以掌握，那我们怎么知道它里头工作的对不对呢？不怕，我们有法宝，就是gradient checking，通过check梯度判断我们的code有没有问题，ok？怎么做呢，看下边：

对于下面这个【Θ-J(Θ)】图，取Θ点左右各一点（Θ+ε），（Θ-ε），则有点Θ的导数（梯度）近似等于(J（Θ+ε）-J（Θ-ε）)/(2ε)。

对于每个参数的求导公式如下图所示：

由于在back-propagation算法中我们一直能得到J(Θ)的导数D（derivative），那么就可以将这个近似值与D进行比较，如果这两个结果相近就说明code正确，否则错误，如下图所示：

Summary: 有以下几点需要注意

-在back propagation中计算出J(θ)对θ的导数D，并组成vector（Dvec）

-用numerical gradient check方法计算大概的梯度gradApprox=(J（Θ+ε）-J（Θ-ε）)/(2ε)

-看是否得到相同（or相近）的结果

-（这一点非常重要）停止check，只用back propagation 来进行神经网络学习（否则会非常慢，相当慢）

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（六）、Random Initialization

对于参数θ的initialization问题，我们之前采用全部赋0的方法，比如：

this means all of your hidden units are computing all of the exact same function of the input. So this is a highly redundant representation. 因为一层内的所有计算都可以归结为1个，而这使得一些interesting的东西被ignore了。
所以我们应该打破这种symmetry，randomly选取每一个parameter，在[-ε,ε]范围内：

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（七）、Putting it together

1. 选择神经网络结构
我们有很多choices of network :

那么怎么选择呢？

No. of input units: Dimension of features
No. output units: Number of classes
Reasonable default: 1 hidden layer, or if >1 hidden layer, have same no. of hidden units in every layer (usually the more the better)

2. 神经网络的训练

① Randomly initialize weights
② Implement forward propagation to get h_θ(x⁽ⁱ⁾) for anyx⁽ⁱ⁾
③ Implement code to compute cost function J(θ)
④ Implement backprop to compute partial derivatives

⑤

⑥

test:

本章讲述了神经网络学习的过程，重点在于back-propagation算法，gradient-checking方法，希望能够有人用我之前这篇文章中的类似方法予以实现神经网络。

另外提供一篇作为Reference，供大家参考。

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原文地址：https://www.cnblogs.com/nsnow/p/5021807.html