[agc001E]BBQ Hard[组合数性质+dp]

Description

传送门

Solution

题目简化后要求的实际上是$sum _{i=1}^{n-1}sum _{j=i+1}^{n}C^{A[i]+A[j]}_{A[i]+A[j]+B[i]+B[j]}$

这时看看n的数据范围瞬间绝望qaq。

不过看到A，B的数据范围似乎明白了什么。。。好像是O（n²）的是不是？

关键:从(0,0)走到(m,n)且只能往上和右走的方案数为$C_{n+m}^{n}$

所以$C^{A[i]+A[j]}_{A[i]+A[j]+B[i]+B[j]}$等价于从（-A[i],-B[i]）到（A[j],B[j]）并且只能往上和右走的方案数。

em突然开心。我们把所有dp[2000-A[i]][2000-B[i]]++。

转移$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$显然。

接着我们到dp[2000+A[i]][2000+B[i]]处统计答案。不过要减去从（2000-A[i]，2000-B[i]]）到（2000+A[i]，2000+B[i]]）的方案数（直接组合数）

最后答案除以2。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
ll fac[8010],inv[8010],ans=0;
int n;
int a[200010],b[200010],f[4010][4010];
ll C(int x,int y){return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;}
int main()
{
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=8000;i++) fac[i]=i*fac[i-1]%mod,inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for (int i=2;i<=8000;i++) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mod;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        f[2000-a[i]][2000-b[i]]++;
    }
    for (int i=0;i<=4000;i++) for (int j=0;j<=4000;j++)
    {
        if (i) f[i][j]+=f[i-1][j];if (f[i][j]>=mod) f[i][j]-=mod;
        if (j) f[i][j]+=f[i][j-1];if (f[i][j]>=mod) f[i][j]-=mod;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        ans+=f[2000+a[i]][2000+b[i]];if (ans>=mod) ans-=mod;
        ans-=C((a[i]+b[i])<<1,a[i]<<1);
        if (ans<0) ans+=mod;
    }
    ans=ans*inv[2]%mod;
    cout<<ans;
}