问题描述
已知：一辆汽车加满油后可行使n公里，而旅途中有若干个加油站，试设计一个有效算法，指出应该在那个加油站停靠加油，使沿途加油次数最少，然后证明算法能产生最优解。
问题分析
用1,2,…,m表示旅途中的m个加油站，0表示出发地，用m+1表示目的地，s[0..m+1]表示加油站至出发地距离(s[0]<s[1]<s[2]<…<s[m]<s[m+1])。则很自然会想到使用贪心策略：每次跑不到下一个加油站了再加油。假设现在可以跑n公里，则第一次加油位置为s[i]<=n<s[i+1]时选择在第i个加油站加油。则求第二次加油位置就变成了从s[i]出发的可以跑n公里的车,则之后的s[i+1...m+1]=s[]-s[i],就是相同的子问题。
证明算法可以产生最优解
最优解包含我们的贪心选择
假设最优解为a,b,c...
a<i时,a,b,c...为最优解
a==i时,因为s[b]<=n+s[a],s[i]>s[a],所以s[b]<=n+s[a]<n+s[i],也是一个最优解
a>i时,因为n<s[i+1]<=s[a]，不满足题意
具有最优子结构
第二次加油位置就变成了从s[i]出发的可以跑n公里的车,则之后的s[i+1...m+1]=s[]-s[i],就是相同的子问题,以此类推直到没有加油站只有目的地。
Java代码实现
/**
* 计算经过加油站的次数
* @param s s(i)表示距离出发地的距离，最后一个表示目的地
* @param n 汽车可以跑的公里数
*/
public static void getNum(int[]s,int n) {
int x=0;//已经跑过的路程
int num=0;
for(int i=0;i<s.length-1;i++) {
if(s[i]-x<=n&&s[i+1]-x>n) {
x=s[i];
num++;
System.out.println("在"+(i+1)+"处加油");
}
}
System.out.println("共加油"+num+"次");
}
public static void main(String[] args) {
//int[]s= {4,7,11,13};//4 3 4 2
int[]s= {4,6,9,10,14};//4 2 3 1 4
getNum(s,4);
}
运行结果
int[]s= {4,6,9,10,14};//4 2 3 1 4
int[]s= {4,7,11,13};//4 3 4 2
