logistic回归
回归就是对已知公式的未知参数进行估计。比如已知公式是$y = a*x + b$，未知参数是a和b，利用多真实的(x,y)训练数据对a和b的取值去自动估计。估计的方法是在给定训练样本点和已知的公式后，对于一个或多个未知参数，机器会自动枚举参数的所有可能取值，直到找到那个最符合样本点分布的参数（或参数组合）。
logistic分布
设X是连续随机变量，X服从logistic分布是指X具有下列分布函数和密度函数：
$$F(x)=P(x le x)=frac 1 {1+e{-(x-mu)/gamma}}\ f(x)=F{'}(x)=frac {e^{-(x-mu)/gamma}} {gamma(1+e{-(x-mu)/gamma})2}$$
其中，$mu$为位置参数，$gamma$为形状参数。
$f(x)$与$F(x)$图像如下，其中分布函数是以$(mu, frac 1 2)$为中心对阵，$gamma$越小曲线变化越快。
logistic回归模型
二项logistic回归模型如下：
$$P(Y=1|x)=frac {exp(w cdot x + b)} {1 + exp(w cdot x + b)}
P(Y=0|x)=frac {1} {1 + exp(w cdot x + b)}$$
其中，$x in R^n$是输入，$Y in {0,1}$是输出，w称为权值向量，b称为偏置，$w cdot x$为w和x的内积。
参数估计
假设：
$$P(Y=1|x)=pi (x), quad P(Y=0|x)=1-pi (x)$$
则似然函数为:
$$prod_{i=1}^N [pi (x_i)]^{y_i} [1 - pi(x_i)]^{1-y_i}
$$
求对数似然函数：
$$L(w) = sum_{i=1}^N [y_i log{pi(x_i)} + (1-y_i) log{(1 - pi(x_i)})]
=sum_{i=1}^N [y_i log{frac {pi (x_i)} {1 - pi(x_i)}} + log{(1 - pi(x_i)})]$$
从而对$L(w)$求极大值，得到$w$的估计值。
求极值的方法可以是梯度下降法，梯度上升法等。
梯度上升确定回归系数
logistic回归的sigmoid函数：
$$sigma (z) = frac 1 {1 + e^{-z}}$$
假设logstic的函数为:
$$y = w_0 + w_1 x_1 + w_2 x_2 + ... + w_n x_n$$
可简写为:
$$y = w_0 + w^T x$$
梯度上升算法是按照上升最快的方向不断移动，每次都增加$alpha abla_w f(w)$，
$$w = w + alpha abla_w f(w) $$
其中，$ abla_w f(w)$为函数导数，$alpha$为增长的步长。
训练算法
本算法的主要思想根据logistic回归的sigmoid函数来将函数值映射到有限的空间内，sigmoid函数的取值范围是0~1，从而可以把数据按照0和1分为两类。在算法中，首先要初始化所有的w权值为1，每次计算一次误差并根据误差调整w权值的大小。
- 每个回归系数都初始化为1
- 重复N次
- 计算整个数据集合的梯度
- 使用$alpha cdot abla f(x)$来更新w向量
- 返回回归系数
#!/usr/bin/env python
# encoding:utf-8
import math
import numpy
import time
import matplotlib.pyplot as plt
def sigmoid(x):
return 1.0 / (1 + numpy.exp(-x))
def loadData():
dataMat = []
laberMat = []
with open("test.txt", 'r') as f:
for line in f.readlines():
arry = line.strip().split()
dataMat.append([1.0, float(arry[0]), float(arry[1])])
laberMat.append(float(arry[2]))
return numpy.mat(dataMat), numpy.mat(laberMat).transpose()
def gradAscent(dataMat, laberMat, alpha=0.001, maxCycle=500):
"""general gradscent"""
start_time = time.time()
m, n = numpy.shape(dataMat)
weights = numpy.ones((n, 1))
for i in range(maxCycle):
h = sigmoid(dataMat * weights)
error = laberMat - h
weights += alpha * dataMat.transpose() * error
duration = time.time() - start_time
print "duration of time:", duration
return weights
def stocGradAscent(dataMat, laberMat, alpha=0.01):
start_time = time.time()
m, n = numpy.shape(dataMat)
weights = numpy.ones((n, 1))
for i in range(m):
h = sigmoid(dataMat[i] * weights)
error = laberMat[i] - h
weights += alpha * dataMat[i].transpose() * error
duration = time.time() - start_time
print "duration of time:", duration
return weights
def betterStocGradAscent(dataMat, laberMat, alpha=0.01, numIter=150):
"""better one, use a dynamic alpha"""
start_time = time.time()
m, n = numpy.shape(dataMat)
weights = numpy.ones((n, 1))
for j in range(numIter):
for i in range(m):
alpha = 4 / (1 + j + i) + 0.01
h = sigmoid(dataMat[i] * weights)
error = laberMat[i] - h
weights += alpha * dataMat[i].transpose() * error
duration = time.time() - start_time
print "duration of time:", duration
return weights
start_time = time.time()
def show(dataMat, laberMat, weights):
m, n = numpy.shape(dataMat)
min_x = min(dataMat[:, 1])[0, 0]
max_x = max(dataMat[:, 1])[0, 0]
xcoord1 = []; ycoord1 = []
xcoord2 = []; ycoord2 = []
for i in range(m):
if int(laberMat[i, 0]) == 0:
xcoord1.append(dataMat[i, 1]); ycoord1.append(dataMat[i, 2])
elif int(laberMat[i, 0]) == 1:
xcoord2.append(dataMat[i, 1]); ycoord2.append(dataMat[i, 2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcoord1, ycoord1, s=30, c="red", marker="s")
ax.scatter(xcoord2, ycoord2, s=30, c="green")
x = numpy.arange(min_x, max_x, 0.1)
y = (-weights[0] - weights[1]*x) / weights[2]
ax.plot(x, y)
plt.xlabel("x1"); plt.ylabel("x2")
plt.show()
if __name__ == "__main__":
dataMat, laberMat = loadData()
#weights = gradAscent(dataMat, laberMat, maxCycle=500)
#weights = stocGradAscent(dataMat, laberMat)
weights = betterStocGradAscent(dataMat, laberMat, numIter=80)
show(dataMat, laberMat, weights)
未优化的程序结果如下，
随机梯度上升算法（降低了迭代的次数，算法较快，但结果不够准确）结果如下，
对$alpha$进行优化，动态调整步长（同样降低了迭代次数，但是由于代码采用动态调整alpha，提高了结果的准确性），结果如下
