题解 UVA1349 【Optimal Bus Route Design】

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Solution UVA1349 Optimal Bus Route Design

题目大意:给定一个带权有向图,选出若干个简单环,使每个点含于且仅含于一个环,并使得边权和最小

最小费用最大流

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分析:既然每个点仅被包含于一个简单环,那么每个点的入度与出度都为(1),也就是这个点有且仅有一条入(出)边.但是我们又不能贪心的去选这个点入边/出边中边权最小的一条边,这样选出来的方案可能根本不合法(不能保证每个点都有入边,可能出现一个环加上一条链之类鬼畜的情况)

那么我们回想一下在无权(DAG)上我们是怎么做的.每个点既要考虑它的入边,又要考虑它的出边,我们就拆点构造二分图,拆为入点和出点.用最大流来保证除去路径开头的每个点有且仅有一条入边.对于这道题同理,带权有向图上我们只需跑最小费用最大流即可

• 最大流保证每个点都会有入边
• 将容量设为(1)保证每个点仅有一条入边
• 最小费用流保证边权之和最小

我们将每个点(u)拆为两个点出点(u')和入点(u).对于每条边((u,v)),我们连边((u',v)).容量(1),费用为边权即可.然后建立超级源,往拆点后的出点(出点流向入点,所以源点要连向出点)连边,容量(1)费用(0).超级汇点同理

然后这题就没了,一个(DAG)上最小路径覆盖的变式,挺有意思的.注意别写挂就行了

奉上蒟蒻的代码:

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 256;
const int maxm = (maxn * maxn + maxn + maxn) << 1;
struct Edge{
	int from,to,cap,flow,cost;
	Edge() = default;
	Edge(int a,int b,int c,int d,int e):from(a),to(b),cap(c),flow(d),cost(e){}
}Edges[maxm];
int head[maxn],nxt[maxm],tot = 1;
inline void clear(){
	tot = 1;
	memset(head,0,sizeof(head));
	memset(nxt,0,sizeof(nxt));
}
inline void addedge(int from,int to,int cap,int cost){
	Edges[++tot] = Edge(from,to,cap,0,cost);
	nxt[tot] = head[from];
	head[from] = tot;
	Edges[++tot] = Edge(to,from,0,0,-cost);
	nxt[tot] = head[to];
	head[to] = tot;
}
int a[maxn],d[maxn],inq[maxn],pre[maxn],flow,cost;
inline bool spfa(int s,int t){
	memset(pre,0,sizeof(pre));
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[s] = 0;
	a[s] = 0x7fffffff;
	queue<int> Q;
	Q.push(s),inq[s] = 1;
	while(!Q.empty()){
		int u = Q.front();Q.pop(),inq[u] = 0;
		for(int i = head[u];i;i = nxt[i]){
			Edge &e = Edges[i];
			if(e.cap > e.flow && d[e.from] + e.cost < d[e.to]){
				d[e.to] = d[e.from] + e.cost;
				a[e.to] = min(a[e.from],e.cap - e.flow);
				pre[e.to] = i;
				if(!inq[e.to])Q.push(e.to),inq[e.to] = 1;
			}
		}
	}
	if(d[t] == 0x3f3f3f3f)return false;
	flow += a[t];
	cost += a[t] * d[t];
	for(int i = pre[t];i;i = pre[Edges[i].from])
		Edges[i].flow += a[t],Edges[i ^ 1].flow -= a[t];
	return true;
}
inline void mcmf(int s,int t){
	flow = cost = 0;
	while(spfa(s,t));
}
int n;
inline void solve(){
	clear();
	for(int u = 1;u <= n;u++){
		int v,d;
		while(scanf("%d",&v) && v)
			scanf("%d",&d),addedge(u,v + n,1,d);
	}
	int s = n + n + 1,t = s + 1;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		addedge(s,i,1,0);
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		addedge(i + n,t,1,0);
	mcmf(s,t);
	if(flow != n)printf("N
");
	else printf("%d
",cost);
}
int main(){
#ifdef LOCAL
	freopen("fafa.in","r",stdin);
#endif
	while(scanf("%d",&n) && n)
		solve();
	return 0;
}